Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VII

Je vais présenter ici une variante de ce que j’ai proposé dans l’article précédent pour construire des solutions de l’équation

(1) \cdots=x_{-1}+\frac{1}{x_0}=x_0+\frac{1}{x_1}=\cdots=x_k+\frac{1}{x_{k+1}}=\cdots

à partir de lignes polygonales affines régulières d’un plan affine réel \mathcal E.

Elle repose sur la même idée de base : avec une ligne polygonale affine régulière et un point de son plan, on construit une suite de droites vectorielles d’un plan vectoriel ainsi qu’une carte de la droite projective associée à celui-ci. La solution de l’équation correspondant à la ligne polygonale et au point est alors la suite des coordonnées des droites.

Une solution de l’équation (1) est entièrement déterminée par x_0 et le nombre \lambda=x_i+\frac{1}{x_{i+1}}. Si les valeurs de \lambda sont quelconques, celles de x_0 ne le sont pas car il faut que les x_i ne soient pas nuls. On voit facilement que, pour un \lambda donné, les valeurs interdites à x_0 sont 0 et les éléments de l’ensemble e_s introduit dans l’article précédent, avec s=1-\lambda.

Toutes les solutions relatives à une valeur donnée de \lambda sont obtenues à partir d’une même ligne polygonale régulière dont les paramètres sont déterminés par \lambda. De façon précise, les paramètres de la ligne sont (1,-s,s)s=1-\lambda.

A cause du plan vectoriel choisi, pourtant très naturel à considérer, la construction proposée dans l’article précédent ne fonctionne pas pour s\in\{-1,3\} et ne donne donc pas les solutions de (1) pour lesquelles |\lambda|=2. Dans le présent billet, je vais corriger ce défaut en remplaçant ce plan par l’espace vectoriel directeur \overrightarrow{\mathcal E} de \mathcal E.

Considérons une ligne polygonale affine régulière \mathcal A:i\in\mathbf Z\mapsto A_i\in\mathcal E de paramètres (1,-s,s) et notons \mathcal T l’affinité qui lui est associée. Pour rappel, c’est l’unique affinité qui applique chaque sommet de la ligne sur le suivant.

Comme on le voit facilement, cette affinité est représentée par l’application

(2) \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0&-1\\1&s-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 0  \end{pmatrix}

dans le repère R_\mathcal A=(A_0,(\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2})) de \mathcal E.

La base de ce repère fournit une carte (U_\mathcal A,\psi_\mathcal A) de l’espace projectif P\overrightarrow{\mathcal E} associé à \overrightarrow{\mathcal E}. Son domaine contient toutes les droites de \overrightarrow{\mathcal E} sauf une, celle engendrée par \overrightarrow{A_0A_1}, et si \mathcal D\in U_\mathcal A, alors

\psi_\mathcal A(\mathcal D)=\frac u v

(u,v) sont les composantes d’un vecteur directeur arbitraire de \mathcal D.

Soit P_0\in \mathcal E, distinct de A_0. Pour tout i\in\mathbf Z, on pose P_i=\mathcal T^i(P_0) et on note \mathcal D_i le sous-espace vectoriel directeur de la droite A_iP_i. Supposons que les droites \mathcal D_i appartiennent toutes à U_\mathcal A et posons

x_i=\psi_\mathcal A(\mathcal D_i)

Comme

\overrightarrow{\mathcal T}(\mathcal D_i)=\mathcal D_{i+1}

si (u,v) sont les composantes d’un vecteur directeur de \mathcal D_i, alors, vu (2), (-v,u+(s-1)v) sont celles d’un vecteur directeur de \mathcal D_{i+1} et on a

x_{i+1}=\frac{-v}{u+(s-1)v}=\frac{1}{1-s-x_i}

Ainsi, la suite des x_i est une solution de (1) pour laquelle \lambda=1-s.

Géométriquement, le fait que les droites \mathcal D_i soient toutes dans le domaine U_\mathcal A signifie simplement que A_0P_0 n’est parallèle à aucun côté de la ligne \mathcal A. Analytiquement, cela équivaut au fait que x_0\notin e_s(*). Par ailleurs, x_0\neq 0 équivaut au fait que P_0\neq A_0. Il résulte de ceci qu’on peut toujours choisir P_0 pour obtenir une solution arbitraire de (1) pour laquelle \lambda =1-s: on peut par exemple prendre le point dont les coordonnées dans le repère R_\mathcal A sont (x_0,1).

😉

P.S. Pour être complet, j’aurais dû montrer qu’étant donné une solution de (1), on peut construire une ligne polygonale régulière et un point qui l’engendrent comme indiqué dans le billet. Ce n’est pas difficile, on procède essentiellement comme dans le billet précédent, juste avant les remarques. P.L. 21/01/2015
__________
(*) La vérification est facile. Je la laisse au lecteur.

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4 réflexions sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VII

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