Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation IX

Les lignes polygonales affines régulières à l’aide desquelles nous avons construit géométriquement les solutions de l’équation

(1) \cdots =x_{-1}+\frac{1}{x_0}=x_0+\frac{1}{x_1}=\cdots=x_k+\frac{1}{x_{k+1}}=\cdots

sont celles de paramètres (1,-s,s).

Ce ne sont donc pas les plus générales et, par curiosité, je me suis demandé ce qu’apportent les autres lignes, celles de paramètres (p,q,r), où p\notin\{0,1\}(*).

La réponse est étonnante et peut se résumer, grossièrement, comme ceci : pour p>0, les lignes polygonales affines régulières de paramètres (p,q,r) génèrent des multiples des solutions de (1), et pour p<0, des multiples des solutions purement imaginaires de (1)(**).

Je vais expliquer rapidement ce qu’il se passe.

Soient donc une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètres (p,q,r), où p\neq 0, d’un plan affine réel \mathcal E et l’affinité associée \mathcal T. En procédant exactement comme dans cet article, on associe une suite \mathbf x=(\mathcal A,P_0) à \mathcal A et à un point P_0\neq A_0 de \mathcal E : x_k est la coordonnée, dans une certaine carte de P \overrightarrow{\mathcal E}, du sous-vectoriel directeur de la droite \mathcal T^k(A_0P_0). Pour que cette suite soit bien définie, il faut, et il suffit, que la droite A_0P_0 ne soit parallèle à aucun côté de la ligne polygonale.

Il s’avère que (\mathcal A,P_0) vérifie une sorte de généralisation de (1) :

(2) \cdots =x_{-1}+\frac{p}{x_0}=x_0+\frac{p}{x_1}=\cdots=x_k+\frac{p}{x_{k+1}}=\cdots

et que toutes les solutions de celle-ci s’obtiennent de cette façon. Notez que la valeur commune prise par les membres de (2) sur (\mathcal A,P_0) est 1-r.

Cela dit, lorsque p est positif, une suite \mathbf u est solution de (2) si et seulement si \frac{\mathbf u}{\sqrt{p}} est solution de (1) car alors, trivialement,

\forall k\in\mathbf Z,\quad x_k+\frac{p}{x_{k+1}}=\lambda

équivaut à

\forall k\in\mathbf Z,\quad \frac{x_k}{\sqrt{p}}+\frac{\sqrt{p}}{x_{k+1}}=\frac{\lambda}{\sqrt{p}}

Ainsi, lorsque p>0, les solutions de (2) obtenues à l’aide de la ligne \mathcal A s’obtiennent donc en multipliant par \sqrt{p} les solutions de (1) obtenues à l’aide d’une ligne polygonale affine régulière de paramètres (1,-s,s)

s=\frac{\sqrt{p}+r-1}{\sqrt {p}}

On vérifie de façon analogue que lorsque p<0, les solutions de (2) obtenues à l’aide de la ligne \mathcal A s’obtiennent en multipliant par i\sqrt{-p} les solutions à valeurs purement imaginaires de (1) sur lesquelles ses membres prennent la valeur commune \frac{1-r}{i\sqrt{-p}}.
__________
(*) Au point où j’en suis, on ne va pas me reprocher de consacrer un billet de plus à la modeste équation, il aurait fallu le faire avant. 😉
(**) Je ne me suis pas préoccupé jusqu’ici des solutions en nombres complexes de (1) et je n’envisage pas de le faire dans l’immédiat mais j’ai peut-être tort.

Publicités

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s