Un petit exercice sur les fonctions

Quelles sont les applications f:\mathbf R\to \mathbf R vérifiant

\forall x,y\in\mathbf R,\quad \begin{cases}f(x+y)=f(x)+f(y)\\[1ex]f(xy)=f(x)f(y)\end{cases}

?

12 réflexions sur “Un petit exercice sur les fonctions

  1. On trouve immédiatement que f(0)=0, f(1)=1, et donc f(2)=2, f(-1)=-1, etc. Et aussi que f(x-y)=f(x)-f(y) et f(x/y)=f(x)/f(y).

    On voit alors que l’image de f, f(R) est un sous-corps de R. Ce sous-corps contient Q, et f est l’indentité sur Q. C’est aussi un homomorphime.
    On a donc un homomorphisme de R sur une extension de Q, sous-corps de R, qui se réduit à l’identité sur Q.

    J’aimerais l’étendre à l’identité sur tout R, mais je ne vois pas bien comment faire. Par exemple, on voit facilement que f(sqrt(2)) doit être racine de x^2-2, mais cela laisse ouverte la possibilité pour f(sqrt(2))=-sqrt(2). Cela dit, f(1+sqrt(2))=1 + f(sqrt(2)) et 1+sqrt(2) est racine de (x-1)^2-2. Mais son conjugué 1-sqrt(2) l’est aussi! Je vais y réfléchir…

    • Une petite correction. Avec 1=1\times 1, il vient f(1)=f(1)^2. Par suite, f(1) peut valoir 1 mais aussi 0. Mais dans ce dernier cas, pour tout x, f(x)=f(x\times 1)=f(x)f(1)=0. Donc, si f\neq 0, alors f(1)=1.

      Une petite suggestion. Montrer alors que f est strictement croissant.

  2. On suppose que f \neq 0, donc d’après ce qui a été dit en haut, on a f(1)=1. En plus, il est facile de voir que la première condition entraîne
    f(r)=f(r\times1)=rf(1) pour tout rationnel r. D’autre part, avec la deuxième condition, f(r)=f(r\times1)=f(r)f(1). Donc f est l’identité sur \mathbb Q.

    D’autre part f est croissante car si a\leq b alors f(b)-f(a)=f(b-a)=f(\sqrt{b-a})^2\geq 0.
    Par conséquence f est l’identité sur \mathbb R car tout nombre réel est la limite d’une suite croissante de rationnels et d’une suite décroissante de rationnels.

    Au final, seulement la fonction nulle et l’identité vérifient les deux conditions.

  3. Mais on ne dit pas dans l’énoncé que la fonction est continue. Comment peut-on dès lors passer à la limite? Si j’ai une suite croissante de rationnels convergeant vers un irrationnel, f étant l’identité sur Q, on la même suite pour les valeurs de f, mais rien ne dit que la valeur limite est la valeur de f en ce point. Ne faut-il pas postuler la continuité pour faire ce pas?

    • Aha, je comprends! L’irrationnel est inférieur à tous les éléments de la suite décroissante, et supérieur à ceux de la suite croissante. Par suite de la croissance stricte de f, la valeur de f l’est aussi et donc égale à l’irrationnel.

  4. Pour les complexes on peut utiliser la forme polaire. Je crois qu’on doit alors tenir compte de la conjugaison complexe. On peut généraliser la question aux quaternions,?

  5. Dans le cas des complexes, la conjugaison est une solution. De plus si f est une solution telle que f(\mathbf R)\subset \mathbf R alors f est nul, l’identité ou la conjugaison. Il en va de même si f est une solution continue. Je n’ai pas encore trouvé les autres solutions f: \mathbf C\to\mathbf C et il se peut fort bien que l’on ne puisse les décrire exhaustivement…

    On peut naturellement poser la question dans tout anneau. Pour les quaternions, la conjugaison n’est plus une solution car ils ne commutent pas alors que la conjugaison est un anti-homomorphisme.

  6. A propos de la question originale, on peut constater que si f est strictement croissant et vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous réels x,y alors f(x)=f(1)x pour tout x\in\mathbf R. Alors si de plus f est multiplicatif, il vient facilement f(1)=0 ou f(1)=1.

  7. En fait, l’exercice est un lemme utile pour démontrer le théorème fondamental de la géométrie affine pour les espaces affines réels lequel caractérise les bijections affines comme étant celles qui transforment trois points colinéaires en trois points colinéaires. Pour les espaces affines sur d’autres corps, ce sont seulement les applications semi-affines qui sont caractérisées. D’après l’article suivant, le lemme n’est pas disponible pour le corps \mathbf C sans hypothèses supplémentaires sur f telles que la continuité. Ce n’est pas explicitement dit comme tel mais cela découle implicitement des exemples cités.

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