Quelques belles images

J’aurais pu appeler ce billet

Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation X

mais il n’est pas certain que cela lui aurait attiré des lecteurs : on n’entame généralement pas la lecture d’un livre à son dixième chapitre et l’intérêt, pour le texte et son intrigue, de ceux qui ont feuilleté les neufs précédents est peut-être émoussé. Je ne floue cependant pas mon monde en ne citant pas la modeste équation dans le titre du billet. Certes, les dessins que je vais montrer ici illustrent la résolution géométrique de cette équation proposée dans cet article. Cependant, il ne faut pas nécessairement avoir lu ce dernier pour comprendre le présent billet car quelques mots suffisent pour décrire cette construction afin de pouvoir utilement commenter les images. Du reste, le lecteur intéressé pourra reconsidérer la construction en question à la lumière de ce qu’il va voir ici.

Résoudre la modeste équation, ou ses généralisations à un nombre arbitraire d’inconnues, voire une infinité, revient à déterminer les suites i\in\mathbf Z\mapsto x_i\in\mathbf R pour lesquelles les nombres x_i+\frac{1}{x_{i+1}} sont égaux. Pour résoudre géométriquement l’équation, on a besoin d’une ligne polygonale affine régulière \mathcal A et d’un point P_0 d’un plan affine. La forme de la ligne polygonale régulière détermine la valeur commune \lambda que l’on veut donner aux nombres x_i+\frac{1}{x_{i+1}} et P_0 détermine la « condition initiale » x_0. En appliquant de façon répétée l’affinité \mathcal T associée à \mathcal A à P_0, on obtient des points P_1,P_2,\ldots et, finalement une suite de points i\mapsto P_i=\mathcal T^i(P_0). La solution correspondant à \mathcal A et P_0 est alors la suite des inverses des coefficients angulaires(*) des droites A_iP_i calculés dans le repère d’origine A_0 et de base (\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2}). Pour que cette solution existe, c’est-à-dire pour qu’aucun de ces coefficients angulaires ne soit nul, il faut, et il suffit, que la droite A_0P_0 ne soit parallèle à aucun côté de la ligne \mathcal A.

Les images qui suivent illustrent la construction pour \lambda=-\sqrt 2. La ligne \mathcal A décrit alors un octogone affine régulier(**); dans ces figures, j’ai choisi plus précisément un octogone régulier : les longueurs de ses côtés sont égales et tous ses angles aux sommets sont égaux. Il est dessiné en vert et ses sommets, énumérés dans le sens trigonométrique, sont A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7.

Les solutions obtenues avec \mathcal A admettent donc la période 8 et leurs premières composantes x_0,...,x_7 forment une solution de la version à huit inconnues de la modeste équation i.e.

x_0+\frac{1}{x_1}=x_1+\frac{1}{x_2}=\cdots=x_6+\frac{1}{x_7}=x_7+\frac{1}{x_0}

Dans les figures, on n’a en conséquence représenté que les huit premiers points P_i. Voyons cela en détails.

Comme les droites menées par A_0 qui ne sont pas parallèles à A_0A_1 sont caractérisées par leur intersection avec A_2A_7, nous pouvons choisir systématiquement le point P_0 sur cette droite, représentée en rouge ci-dessous. Il faut encore que A_0P_0 ne soit pas parallèle aux autres côtés du polygone. Cela exclut les positions A_7,I,J de sorte que finalement, les solutions de l’équation pour lesquelles \lambda = -\sqrt 2 sont en bijection avec A_2A_7 privé de ces trois points.

L’affinité associée à l’octogone est la rotation dont le centre est le centre de symétrie O de l’octogone et dont l’angle est \pi/4. On l’applique à P_0 pour obtenir successivement les points P_1=\mathcal T(P_0), P_2=\mathcal T(P_1),\ldots

Le résultat est illustré dans les figures ci-dessous pour diverses positions de P_0. Sur ces dessins, on a également représenté les axes du repère (A_0,(\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2})) dans lequel on calcule les coefficients angulaires des droites A_iP_i pour obtenir la solution relative à P_0.

Dans la première figure, P_0 est intérieur à l’octogone. Tous les P_i le sont alors aussi car l’octogone est invariant par la rotation qui permet de passer d’un point à sont successeur.

octo

Dans la seconde figure, P_0 occupe la seule position autorisée qui soit située sur l’octogone, A_2. Les P_i sont alors les sommets de l’octogone. Comme ont le voit, ils se répartissent en deux carrés.

octo11

Les coefficients angulaires de deux côtés opposés d’un carré sont égaux. La solution obtenue pour cette position de P_0 est donc de la forme (x_0,x_1,x_2,x_3,x_0,x_1,x_2,x_3). Elle est ainsi périodique de période 4 et ses premières composantes vérifient la version à quatre inconnues de la modeste équation :

x_0+\frac{1}{x_1}=x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=x_3+\frac{1}{x_0}

En fait, comme je l’ai expliqué à la fin de cet article, les solutions de période n sont obtenues à partir d’une ligne polygonale affine régulière de période n ou 2n. Pour n=4 et \lambda=-\sqrt 2, c’est 2n=8 qui convient. Ainsi, les solutions de l’équation à huit inconnues pour lesquelles \lambda =-\sqrt 2 sont constituées de la juxtaposition de deux copies d’une solution arbitraire de l’équation à quatre inconnues relative à la même valeur de \lambda.

Géométriquement, il est particulièrement évident sur l’exemple précédent que la solution obtenue est périodique de période 4, de même que sur la configuration suivante dans laquelle les droites A_iP_i sont les diagonales de l’octogone.

octo1111

Comme dit plus haut, c’est toujours le cas et l’explication géométrique est simple. En effet, appliquer quatre fois l’affinité associée à l’octogone revient à faire une rotation d’angle \pi : les droites A_iP_i et A_{i+4}P_{i+4} sont donc parallèles de sorte que leurs coefficients angulaires sont égaux.

Maintenant qu’on est averti de la chose, elle saute aux yeux sur la première figure ainsi que sur la suivante dans laquelle les P_i sont extérieurs à l’octogone.

octo111

Pour réaliser les illustrations présentées ici, j’ai utilisé GeoGebra. Profitant du caratère « dynamique » des figures réalisées par ce logiciel, je n’ai construit qu’un seul fichier et c’est en déplaçant le point P_0 avec le pointeur de la souris le long de A_2A_7 que j’ai obtenu les différentes configurations. Je pense que j’aurais pu programmer GeoGebra pour qu’il affiche en même temps la solution (x_0,x_1,x_2,x_3) mais je n’y ai pas songé tout de suite et, un peu paresseux, je ne l’ai finalement pas fait.

😉
__________
(*) En s’y prenant bien, on peut sans doute modifier légèrement la construction pour qu’il s’agisse de la suite des coefficients angulaires ce qui rendrait les choses tout à fait élémentaires. En termes plus sophistiqués, il s’agit de coordonnées projectives ainsi que je l’ai signalé dans les billets consacré à la modeste équation mais il n’est pas indispensable de présenter les choses de la sorte lorsqu’on s’adresse à un public peu au fait de la géométrie projective, je pense par exemple à des lycéens.
(**) Les paramètres des lignes polygonales affines régulières correspondant à \lambda sont (1,-s,s)s=1-\lambda. Pour \lambda=-\sqrt 2, s est curieusement la racine carrée du nombre de cuivre 2\sqrt 2+3 que l’on rencontre aussi dans cet article! Le monde est décidément bien petit et certaines coïncidences ne sont pas fortuites — il faudra que j’y songe à l’occasion!

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