Une brève : équation cartésienne et orientation

Le présent billet concerne l’orientation des courbes planes définies par une équation cartésienne.

Pour alléger la rédaction, nous nous plaçons dans \mathbf R^2 muni du produit scalaire et de l’orientation pour lesquels la base canonique ((1,0),(0,1)) est orthonormée positive (elle correspond au sens de rotation trigonométrique).

Nous y considérons une courbe régulière \Gamma ensemble des zéros d’une fonction réelle F, définie et de classe C^1 au moins dans un ouvert \Omega de \mathbf R^2, et dont le gradient est sans zéro sur \Gamma(*).

Soit alors un paramétrage local \gamma:t\in I\mapsto (u(t),v(t))\in \Gamma de \Gamma au voisinage d’un point P=\gamma(t_0). La fonction F\circ \gamma est nulle dans l’intervalle I de sorte que le produit scalaire

\mathrm{grad}_PF\cdot \frac{d\gamma}{dt}_{|t=t_0}=F'_xu'+F'_yv'=\frac{d}{dt}F\circ\gamma_{|t=t_0}

est nul. Comme \frac{d\gamma}{dt}_{|t=t_0} est un vecteur directeur de la tangente de \Gamma en P, il en résulte, ce qui est bien connu, que le gradient de F en P est un vecteur directeur de la normale de \Gamma en P.

On a coutume de choisir en chaque point d’une courbe plane une tangente \mathbf t et une normale \mathbf n unitaires de manière telle que la base (\mathbf t,\mathbf n) appartienne à l’orientation du plan de la courbe. Pour déterminer cette base, il suffit de se donner l’un des deux vecteurs car l’autre est alors complètement déterminé par cette condition.

Lorsque la courbe est paramétrée, on choisit naturellement pour \mathbf t le vecteur tangent normé du paramétrage. Dans le cas ou la courbe est définie par une équation cartésienne, ce qu’on a dit plus haut conduit à choisir la normale, et à poser

\mathbf n =\frac{\mathrm{grad}F}{\|\mathrm{grad}F\|}

Ainsi, une équation cartésienne de \Gamma détermine \mathbf t et donc un sens de parcours de \Gamma.

C’est là que je voulais en venir et vous faire observer qu’une chose en apparence aussi anodine que multiplier F par un nombre non nul, par exemple pour alléger les écritures en se débarrassant de dénominateurs, ne l’est en réalité pas du tout puisque cela peut changer le signe de F et, donc, inverser l’orientation de la courbe! orientation Voyons la chose sur l’exemple du cercle de centre C=(a,b) et de rayon r dont

(1) (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

est réputé être l’équation dans la plupart des manuels scolaires. Adoptons donc pour ce cercle l’équation cartésienne

F:(x,y)\in\mathbf R^2\mapsto (x-a)^2+(y-b)^2-r^2\in\mathbf R

La normale correspondante est

\mathbf n=\frac{\mathrm{grad}F}{\|\mathrm{grad}F\|}=\frac{1}{r}\overrightarrow{CP}

et, on le voit sur le dessin ci-dessus, le sens de parcours déterminé par cette équation est donc le sens des aiguilles d’une montre! Ceux qui voudraient le sens trigonométrique devraient en principe remplacer F par son opposé, c’est-à-dire faire passer à droite le membre de gauche de (1) plutôt que de faire passer r^2 à gauche. Je crois que peu de monde écrirait volontiers une équation du cercle sous la forme

r^2-(x-a)^2-(y-b)^2=0

On ne trouverait sans doute pas plus naturel a priori de définir la normale associée à une équation cartésienne F par

\mathbf n=-\frac{\mathrm{grad}F}{\|\mathrm{grad}F\|}

Pourtant, tout cela n’est qu’affaire de conventions et de coutumes…

Tant que j’y suis, je vais vous montrer une jolie formule. Revenons aux généralités du début du billet et supposons F de classe C^2. Munie de l’orientation induite par l’équation F, la courbe \Gamma possède alors en chaque point une courbure algébrique, \kappa^*_\Gamma. J’ai trouvé dans ce livre bien utile : L. Rade, B. Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, 5th ed., Springer, 2004, la formule suivante(**).

\kappa_\Gamma^*=-\frac{F''_{xx}F'^2_y-2F''_{xy}F'_xF'_y+F''_{yy}F'^2_x}{\left(\sqrt{F'^2_x+F'^2_y}\right)^3}

C’est un exercice amusant que de l’établir, ce que vous ferez peut-être à l’occasion pour vous distraire.😉

__________

(*) On dit que F:\Omega\mapsto \mathbf R est une équation cartésienne de \Gamma.
(**) Où F'_x est la dérivée première de F par rapport à x, F''_{xy} sa dérivée seconde par rapport à x, y, etc.

2 réflexions sur “Une brève : équation cartésienne et orientation

  1. Bonjour Pierre, ne pourrait -on pas définir la normale à partir de la variation du vecteur tangent? Si celui-ci représente la direction de la vitesse, la normale serait celle de l’accélération. On aurait ainsi toujours la même orientation. Ou alors, trouver une définition de la tangente directement à partir de F (mais je ne vois pas comment faire) . Il me semble que le problème que tu décris là vient de ce que les deux vecteurs sont definis de manières différentes: le premier à partir de la représentation paramétrique et le second à partir de l’équation cartésienne. Je me demande si le problème ne disparaît pas si on choisit une seule représentation.

    • Merci pour ces réflexions! Elles me donnent l’occasion de clarifier la notion de courbure algébrique.

      En fait, ce n’est pas un problème qu’une équation cartésienne induise une orientation de la courbe et je voulais seulement faire remarquer qu’une opération algébriquement triviale (multiplier l’équation par un nombre non nul) a une répercussion non triviale au niveau géométrique.

      Seconde remarque, les deux notions : courbe paramétrée et courbe de niveau (i.e. définie par une équation cartésienne) ne sont pas équivalentes. Elles le sont seulement « localement » en ce sens que, localement une courbe paramétrée peut être définie par une équation cartésienne et, inversement, tout point d’une courbe de niveau possède un voisinage qui est décrit par un paramétrage. Dans la pratique, il est rare qu’on puisse trouver ce dernier car les équations, généralement non linéaires, sont trop difficiles à résoudre. Il est donc utile de pouvoir exprimer les tangente et normale unitaires, la courbure, etc. directement en termes d’une équation cartésienne.

      En fait, si problème il y a c’est en amont, dans l’étude des courbes paramétrées en dimension trois. La dérivée du paramétrage (supposée non nulle) fournit un vecteur tangent à la courbe, donc une tangente. Le fait que la courbe soit … courbe se manifeste dans la variation de la direction de cette tangente. On dérive donc le vecteur tangent normé, comme tu le suggères. La longueur de cette dérivée donne une idée de l’intensité avec laquelle cette direction change et on l’appelle courbure de la courbe en le point considéré. Si elle n’est pas nulle, la direction de cette dérivée est nécessairement perpendiculaire à la tangente et définit donc une normale unitaire privilégiée : la normale principale. Le problème survient lorsque la courbure est nulle au point considéré : il n’y a alors pas moyen de sélectionner parmi l’infinité de normales disponibles celle qui joue le rôle de normale principale (songeons à une droite : quel vecteur unitaire du plan perpendiculaire à la droite en un de ses points mérite de s’appeler normale principale en ce point?) Autrement dit, en un point où la courbure est nulle, il n’y a ni trièdre de Frenet ni torsion!

      Pour une courbe plane, par contre, il n’y a en chaque point que deux vecteurs unitaires normaux à la courbe et on profite de cette circonstance pour définir la normale principale à la courbe en un point, comme expliqué dans le billet, avant d’introduire la courbure c’est-à-dire avant de dériver le vecteur tangent unitaire. Naturellement, la dérivée de celui-ci, qui pointe dans le sens de la concavité de la courbe, est encore un multiple de la normale principale. Comme la direction de celle-ci a été déterminée par l’orientation du plan de la courbe, ce multiple est positif ou négatif pour garantir que la dérivée du vecteur tangent unitaire ait le bon sens. C’est pourquoi ce multiple s’appelle courbure algébrique. Sa valeur absolue est la courbure de la courbe au sens ordinaire. Elle peut s’annuler (c’est le cas en les points d’inflexion) sans que cela prive pour autant la courbe de sa normale principale.

      Pour être complet, voici les expressions de \mathbf t et de \mathbf n en termes d’une équation cartésienne F :

      \mathbf t=\frac{1}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2}}\left(F'_y,-F'_x)\right), \quad \mathbf n=\frac{1}{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2}}\left(F'_x,F'_y)\right)

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