En guise d’exercice, un peu de trigonométrie…

Je vous propose de montrer que :

\left(\cos^2\frac{\pi}{11}-\cos^2\frac{2\pi}{5}\right)\left(\cos^2\frac{\pi}{11}-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)\left(\cos^2\frac{\pi}{11}-\cos^2\frac{3\pi}{10}\right)\left(\cos^2\frac{\pi}{11}-\cos^2\frac{\pi}{10}\right)\cos\frac{\pi}{11}

vaut 2^{-9}.

Bon amusement!

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6 réflexions sur “En guise d’exercice, un peu de trigonométrie…

  1. Après (dans l’ordre) l’application de l’identité remarquable, la factorisation trigonométrique, le développement trigonométrique (en associant les angles de manière à ce que la somme angulaire fasse 55 Pi / 110), et la formule de duplication des arcs, j’arrive à ce que la somme proposée vaut :
    1/2^4 * cos(9 Pi/110) * cos (10 Pi/110) * cos(13 Pi/110) * cos(31 Pi/110) * cos(53 Pi/110) (ce que me confirme wolfram).
    Et là, je cherche depuis tout à l’heure un développement puis refactorisation astucieux pour trouver que le produit de cosinus vaut 1/2^5, et je bloque … je présume que j’ai fait la partie pas trop dure et bourrine et qu’il me reste à trouver la vraie raison du pourquoi ça marche ? 🙂

    • Merci de votre intérêt pour la question!

      Je ne suis malheureusement pas en mesure de vous répondre. Je ne connais pas vraiment, pour l’instant, de vraie raison du pourquoi ça marche. Bien entendu, je sais prouver cette relation, ainsi qu’une infinité d’autres du même acabit du reste, mais ma preuve n’est pas directe : elle résulte de deux constatations que j’ai observées, certes dans un même contexte, mais, en quelque sorte, accidentellement.

      • Juste une intuition non vérifiée, ce qui serait un peu au dessus de mes forces: ne serait-ce pas le produit de certaines racines d’un polynôme de Tchebychev? Peut-être T_{55}. Je crois qu’il existe des formules pour trouver des produits de racines en fonction des coefficients…

  2. Belle intuition!

    Ce n’est pas un produit de racines de polynômes de Tchebychev — c’est plus compliqué qu’un simple produit — mais c’est quand même lié aux polynômes de seconde espèce et à leurs zéros. (Ceux-ci sont les nombres \cos\frac{k\pi}{n}n=2,3,\ldots et k=1,2,\ldots,n-1.) Cela dit, je ne sais pas si on peut prouver directement la relation et ses petites sœurs à partir des propriétés de ces polynômes.

  3. Voilà! L’intuition de ThM est tout à fait remarquable. S’il ne s’agit pas de produit de racines de polynômes de Tchebychev, on peut cependant utiliser ceux-ci pour obtenir une preuve de l’égalité proposée en exercice, assez courte du reste. Je vais la donner mais dans un autre billet afin de profiter pleinement des facilités d’édition du logiciel.

  4. Pingback: Les polynômes de Tchebychev et l’exercice précédent | Blog de Pierre Lecomte

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