Lignes polygonales affines régulières et produits scalaires

Considérons une ligne polygonale affine régulière \mathcal A d’un plan affine \mathcal E, de paramètre (p,q,r) et d’affinité associée \mathcal T.

Lorsqu’on munit d’un produit scalaire l’espace des vecteurs libres de \mathcal E, on dote ce dernier d’une structure de plan euclidien dans lequel les côtés [A_k,A_{k+1}] de \mathcal A acquièrent chacun une longueur tandis que ses sommets se voient équipés d’un angle — pour dissiper toute ambiguité, je précise que l’angle en A_k est l’angle non orienté formé par les vecteurs \overrightarrow{A_kA_{k-1}} et \overrightarrow{A_kA_{k+1}}.

Dans ce billet, j’étudie la possibilité de munir \mathcal E d’une structure euclidienne adaptée à \mathcal A, c’est-à-dire dans laquelle les longueurs des côtés de \mathcal A sont égales et ses angles aux sommets sont égaux eux aussi.

Une famille particulière de lignes

Nous allons mettre à part les lignes de paramètre (-1,1,1), pour lesquelles la question est immédiate à résoudre. Elles ont l’allure générale esquissée sur la figure ci-dessous.

poly_isom

Les sommets de ces lignes se répartissent sur deux parallèles. L’une contient ceux d’indices pairs et l’autre ceux d’indices impairs. De plus les vecteurs \overrightarrow{A_{2k}A_{2k+1}} sont égaux et il en va de même des vecteurs \overrightarrow{A_{2k-1}A_{2k}}.

Il est clair qu’il existe des structures euclidiennes adaptées à une ligne quelconque de cette famille : n’importe quel produit scalaire pour lequel \|\overrightarrow{A_0A_1}\|=\|\overrightarrow{A_1A_2}\| en définit une. Pour en déterminer un, il suffit d’imposer cette valeur commune et d’imposer l’angle au sommet, ce qui fixe alors le produit \overrightarrow{A_0A_1}\cdot\overrightarrow{A_1A_2}. Dans la base (\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2}), un produit scalaire de cette sorte est représenté par la matrice

\ell^2\begin{pmatrix}1&-\cos\alpha\\-\cos\alpha&1\end{pmatrix}

\ell est la longueur commune des côtés et \alpha la valeur commune des angles aux sommets.

Une caractérisation

En dehors des lignes de paramètre (-1,1,1), il existe une vaste famille de lignes polygonales affine régulières possédant une structure euclidienne adaptée. Elle est bien connue de mes lecteurs qui en ont sans doute apprécié l’importance. En contraste avec les lignes dont il vient d’être question, pour lesquelles la longueur commune des côtés et la valeur commune des angles aux sommets peuvent être imposés arbitrairement, seule la longueur commune des côtés de \mathcal A peut être choisie à sa guise lorsqu’il appartient à la seconde famille. Voici l’énoncé :

Supposons (p,q,r)\neq (-1,1,1). Les trois propriétés suivantes sont alors équivalentes.

  • Il existe une structure euclidienne de \mathcal E adaptée à \mathcal A.
  • On a (p,q,r)=(1,-s,s)s\in]-1,3[.
  • Il existe une structure euclidienne de \mathcal E dont \mathcal T soit une isométrie.

Il est évident qu’une structure euclidienne dont \mathcal T soit une isométrie est adpatée à \mathcal A. Il ne nous reste donc plus qu’à montrer que la première propriété implique la seconde et que celle-ci implique la troisième, étapes que j’appelle ci-dessous premier et second temps respectivement.

Pour ce faire, nous utiliserons le repère (A_0,(\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2})). Pour simplifier les notations, nous poserons

\mathbf u=\overrightarrow{A_0A_1}, \ \mathbf v=\overrightarrow{A_1A_2}

Nous utiliserons aussi ceci :

\overrightarrow{A_2A_3}=p\overrightarrow{A_2A_0}+q\overrightarrow{A_2A_1}=-p\mathbf u-(p+q)\mathbf v

sans nécessairement rappeler cette formule au moment de l’utiliser.

Premier temps

Supposons qu’il existe une structure euclidienne adaptée à \mathcal A.

Notons \ell la longueur commune des côtés et \alpha la valeur commune des angles aux sommets qu’elle confère à \mathcal A. Nous avons donc(*)

\ell=\|\mathbf u\|=\|\mathbf v\|\quad\&\quad \mathbf u\cdot\mathbf v=-\ell^2\cos\alpha

et, en élevant l’égalité \|\overrightarrow{A_2A_3}\|=\ell au carré puis en simplifiant par \ell^2,

(1) p^2+(p+q)^2-2p(p+q)\cos\alpha=1

En exprimant l’égalité des angles au sommet en A_1 et A_2, qui se traduit par

\overrightarrow{A_1A_0}\cdot\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_2A_1}\cdot\overrightarrow{A_2A_3}

nous obtenons ensuite

(2) p+q-(p+1)\cos\alpha=0

de sorte que, puisque p\neq -1 par hypothèse,

\cos\alpha=\frac{p+q}{p+1}

Reportée dans (1), cette valeur donne, après un petit peu de calcul,

(p-1)\left[(p+1)^2-(p+q)^2\right]=0

Les sommets A_0, A_1,A_2 n’étant pas alignés, l’angle \alpha est strictement compris entre 0 et \pi. Par conséquent,

0<\sin\alpha^2=\frac{(p+1)^2-(p+q)^2}{(p+1)^2}

Nous déduisons d’abord de ceci que p=1. Ensuite, en posant q=-s, r=s, nous obtenons

0<(p+1)^2-(p+q)^2=4-(1-s)^2

c’est-à-dire s\in]-1,3[.

Le premier temps est donc achevé.

En relisant attentivement la preuve ci-dessus, on constate que \ell>0 est arbitraire mais, par contre, que \alpha est imposé par le paramètre de \mathcal A. En effet :

\alpha=\arccos\frac{1-s}{2}

On comprend aussi d’où vient la famille particulière de lignes polygonales affine régulières dont j’ai parlé plus haut. Lorsque p=-1, l’égalité (2) se réduit à p+q=0 de sorte que la condition (1) est automatiquement satisfaite et qu’aucune valeur de \alpha n’est imposée.

Second temps

Supposons que le paramètre de \mathcal A est (1,-s,s)s\in]-1,3[.

Avec les notations de la démonstration précédente, la forme bilinéaire symétrique g de l’espace des vecteurs libres de \mathcal E représentée par la matrice

\begin{pmatrix}2&s-1\\s-1&2\end{pmatrix}

dans la base (\mathbf u,\mathbf v) est un produit scalaire. Cette matrice est en effet symétrique définie positive car s\in]-1,3[. Pour ce produit, nous avons

\begin{cases}\|\mathbf u\|=\|\mathbf v\|=\sqrt 2\\[1ex]\mathbf u\cdot\mathbf v=s-1\end{cases}

De plus

\overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf u)=\mathbf v \quad \& \quad \overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf v)=\overrightarrow{A_2A_3}=-\mathbf u-(1-s)\mathbf v

On vérifie alors avec un peu de calcul que

\begin{cases}\|\overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf u)\|^2=\|\mathbf u\|^2\\[1ex]\|\overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf v)\|^2=\|\mathbf v\|^2\\[1ex]\overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf u)\cdot \overrightarrow{\mathcal T}(\mathbf v)=\mathbf u\cdot\mathbf v\end{cases}

prouvant ainsi que \mathcal T est une isométrie de la structure euclidienne de \mathcal E induite par g.

Le second temps est donc terminé lui aussi.

😉

__________
(*) Le point centré désigne le produit scalaire.

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  1. Pingback: A propos de certaines lignes polygonales affines régulières I | Blog de Pierre Lecomte

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