Lignes polygonales affines régulières III

Dans ce billet, je vais consigner quelques propriétés des lignes polygonales affines régulières qui s’avèrent assez utiles.

S’il est nécessaire de l’expliciter ci-dessous, nous noterons \mathcal E le plan affine dans lequel évoluent les lignes polygonales considérées.

La ligne inverse

La ligne inverse d’une ligne polygonale affine régulière \mathcal A, que nous noterons à l’occasion \mathcal A^{-1}, est la ligne

k\in\mathbf Z \mapsto A_{2-k}\in \mathcal E

Nous avons rencontré un cas particulier de cette construction ici, où le paramètre de \mathcal A est de la forme (1,-s,s). Dans ce cas, \mathcal A^{-1} est trivialement une ligne polygonale affine régulière de même paramètre. En général :

L’inverse d’une ligne polygonale affine régulière de paramètre (p,q,r) est une ligne polygonales affine régulière de paramètre (\frac 1 p,-\frac r p,-\frac q p).

Considérons en effet une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètre (p,q,r). On a p\neq 0 et, par définition d’une telle ligne,

\forall \ell\in\mathbf Z,\quad A_{\ell+3}=pA_\ell+qA_{\ell+1}+rA_{\ell+2}

Faisons le changement d’indice \ell =-1-k. Cela donne

\forall k\in\mathbf Z,\quad A_{2-k}=pA_{-1-k}+qA_{-k}+rA_{1-k}

ce qui, convenablement réarrangé, signifie que \mathcal A^{-1} est une ligne polygonale affine régulière de paramètre (\frac 1 p,-\frac r p,-\frac q p).

Remarquons en passant qu’il découle de cette propriété que les lignes polygonales affines régulières de paramètres (1,-s,s) sont les seules qui ont le même paramètre que leur inverse.

Points fixes de l’affinité associée

L’affinité \mathcal T associée à une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètre (p,q,r) admet un point fixe si, et seulement si, 2p+q+1\neq 0. Lorsque cette condition est satisfaite, \mathcal T admet un seul point fixe, à savoir

\frac{p}{2p+q+1}A_0+\frac{p+q}{2p+q+1}A_1+\frac{1}{2p+q+1}A_2

Notons (a,b,c) les coordonnées barycentriques d’un point C de \mathcal E par rapport au triangle A_0A_1A_2.
Comme on le voit aisément, on a \mathcal T(C)=C si, et seulement si,

(1) \begin{cases}pc=a\\a+qc=b\\b+cr=c\end{cases}

Ces égalités permettent d’exprimer a,b en fonction de c : a=pc, b=(p+q)c. Comme la somme a+b+c vaut 1, c est contraint par la condition

(2p+q+1)c=1

La conclusion est alors facile : si 2p+q+1=0 on ne peut satisfaire à (1) et \mathcal T n’a pas de point fixe; par contre, si 2p+q+1\neq 0, on peut satisfaire à (1) mais d’une seule manière et \mathcal T a un seul point fixe, celui décrit dans l’énoncé.

Lorsque (p,q,r)=(1,-s,s), alors \mathcal T admet un point fixe si, et seulement si, s\neq 3. Si, de plus, s\neq -1, la ligne \mathcal A est tangente à une conique à centre en les milieux de ses côtés et nous avons observé ailleurs que le centre de cette conique est le point fixe de \mathcal T. Lorsque s=-1, la ligne a l’allure suivante

milieux3

Les sommets d’indices pairs sont disposés sur une droite et ceux d’indices impairs sur une parallèle à celle-ci. Les milieux des côtés [A_{2i},A_{2i+1}] sont égaux de même que ceux des côtés [A_{2i-1},A_{2i}]. Le point fixe de \mathcal T est le milieu du segment délimités par ces deux points.

Voici une autre propriété. Elle est formulée avec les notations de l’énoncé précédent.

Si q\neq 1, un point de \mathcal E est un point fixe de \mathcal T si, et seulement si, c’est un point fixe de \mathcal T^{\circ 2}.

Pour vérifier cette proposition, je vais utiliser l’égalité

\mathcal T^{\circ 3}=p\mathrm{id}+q\mathcal T+r\mathcal T^{\circ 2}

Evaluée en un point fixe C de \mathcal T^{\circ 2}, elle donne

\mathcal T(C)=(p+r)C+q\mathcal T(C)

soit

(1-q)C-(1-q)\mathcal T(C)=0

puisque p+q+r=1. Ceci montre que si q\neq 1, alors C est un point fixe de \mathcal T. D’où la propriété car, bien entendu, et sans hypothèse sur q, tout point fixe de \mathcal T est aussi un point fixe de \mathcal T^{\circ 2}.

Il existe des lignes pour lesquelles q=1 et \mathcal T^{\circ 2} possède une droite de points fixes. J’étudie les lignes dont le paramètre est de la forme (-r,1,r) dans un autre billet.

Supposons que l’affinité \mathcal T associée à une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de paramètre (p,q,r) admette un point fixe, C. Les vecteurs \overrightarrow{CA_0} et \overrightarrow{CA_1} forment une base de l’espace des vecteurs libres de \mathcal E. De plus, \overrightarrow{\mathcal T} est représenté par la même matrice dans les bases (\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_1A_2}) et (\overrightarrow{CA_0},\overrightarrow{CA_1}). Il s’agit de la matrice

\begin{pmatrix}0&-p\\1&-(p+q)\end{pmatrix}

Pour alléger les notations, je désigne comme plus haut par (a,b,c) les coordonnées barycentriques de C par rapport au triangle A_0A_1A_2. D’après la première proposition de la présente section,

\begin{cases}\overrightarrow{CA_0}=-(b+c)\overrightarrow{A_0A_1}-c\overrightarrow{A_1A_2}\\[1ex]\overrightarrow{CA_1}=a\overrightarrow{A_0A_1}-c\overrightarrow{A_1A_2}\end{cases}

Le déterminant de la matrice

\begin{pmatrix}-(b+c)&a\\-c&-c\end{pmatrix}

vaut c. Il n’est donc pas nul de sorte que \overrightarrow{CA_0} et \overrightarrow{CA_1} sont linéairement indépendants. La matrice en question est une des matrices de passage entre les deux bases de l’énoncé. Pour conclure, il suffit de montrer qu’elle commute avec celle de l’énoncé, ce qui est immédiat.

Voilà, c’est tout pour l’instant. J’ajouterai peut-être ici quelques propriétés, sans nécessairement le signaler.

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3 réactions sur “Lignes polygonales affines régulières III

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