A propos de certaines lignes polygonales affines régulières I

Lorsqu’on cherche des structures euclidiennes adaptées à une ligne polygonale affine régulière, on rencontre une famille de lignes particulières, celles de paramètre (-1,1,1). Leurs sommets d’indices pairs sont alignés, ainsi que ceux d’indices impairs (et les droites sur lesquelles les sommets sont distribués sont parallèles). J’ai mentionné ici une autre famille de lignes ayant un comportement similaire.

Je me propose de déterminer les lignes polygonales affines régulières d’un plan affine \mathcal E dont les points d’indices pairs sont situés sur une droite et les points d’indices impairs sont aussi situés sur une droite.

J’ouvre peut-être ainsi la boîte de Pandore : la question a une généralisation naturelle mais qui me semble difficile — déterminer les lignes polygonales affines régulières dont les sommets sont distribués sur quelques droites — et fait poindre le problème d’étudier la convergence des lignes polygonales affines régulières qui ne me paraît guère plus simple …

Soit donc une ligne polygonale affine régulière \mathcal A de \mathcal E dont les sommets d’indices pairs sont situés sur une droite \mathcal D_0 et ceux d’indices impairs appartiennent à une droite \mathcal D_1.

lp_1

Le paramètre (p,q,r) de cette ligne est assez spécial. Nous allons en effet vérifier qu’il est de la forme (-r,1,r) ou de la forme (-q,q,1)q\neq 1. Dans le premier cas, les droites \mathcal D_0 et \mathcal D_1 sont parallèles. Dans le second, elles sont sécantes.

J’utilise les notations de la figure. En reportant les égalités A_2=A_0+\mathbf a et A_3=A_1+\mathbf b dans la relation A_3=pA_0+qA_1+rA_2, on obtient, après un petit calcul,

\mathbf b-r\mathbf a=(q-1)\overrightarrow{A_0A_1}

Avec A_4=pA_1+qA_2+rA_3, il vient de la même manière

(r-1)\mathbf b + (q+r)\mathbf a =\overrightarrow{A_0A_4}

Voici alors ce qu’il se passe selon les valeurs de q.

\bullet\ q=1

Dans ce cas, \mathbf b=r\mathbf a et les droites \mathcal D_i sont parallèles.

\bullet\ q\neq 1

Observons tout d’abord que dans ce cas, r=1. Sinon, il résulterait de la seconde relation que nous venons d’établir que \mathbf b est un multiple de \mathbf a. Mais alors, vu la première, \overrightarrow{A_0A_1} serait aussi proportionnel à \mathbf a ce qui est absurde car A_1 n’appartient pas à \mathcal D_0.

En fait, comme \overrightarrow{A_0A_1} n’est parallèle ni à \mathbf a ni à \mathbf b, la première relation montre que \mathbf a et \mathbf b sont linéairement indépendants : les droites \mathcal D_0 et \mathcal D_1 sont donc sécantes.

Nous allons identifier leur intersection, de deux manières différentes.

\bullet Première manière

L’affinité \mathcal T associée à \mathcal A possède un point fixe, à savoir

C=-\frac{q}{1-q}A_0+\frac{1}{1-q}A_2

Ce point appartient à chacune des droites \mathcal D_i puisque

\overrightarrow{A_0C}=\frac{1}{1-q}\overrightarrow{A_0A_2} \quad \& \quad \overrightarrow{A_1C}=\frac{1}{1-q}\overrightarrow{A_1A_3}

(Pour obtenir l’égalité de droite, il est utile de noter que \overrightarrow{A_2A_3}=q\overrightarrow{A_0A_1}.)

\bullet Seconde manière

L’intersection des droites \mathcal D_i est un point fixe de \mathcal T^{\circ2} car \mathcal T^{\circ2}(\mathcal D_0)\subset \mathcal D_0 et \mathcal T^{\circ2}(\mathcal D_1)\subset \mathcal D_1 et on a vu ici que quand q\neq 1, tout point fixe de \mathcal T^{\circ2} est aussi un point fixe de \mathcal T.

Ainsi, comme annoncé, les lignes polygonales affines régulières qui nous intéressent ici se répartissent en deux familles qui diffèrent par la position relative des droites sur lesquelles sont distribués les sommets de ces lignes. Elles sont caractérisées chacune par une forme particulière de paramètre. Je les étudierai séparément, dans d’autres billets.

Il est amusant de noter que les cas où l’une des composantes du paramètre (p,q,r) vaut 1 auront ainsi été tous passés en revue. Les deux familles dont il vient d’être question couvrent les cas q=1 et r=1 et nous avons rencontré à plusieurs reprises les lignes de paramètres (1,-s,s), entre autre ici et ici.

😉

Une réflexion sur “A propos de certaines lignes polygonales affines régulières I

  1. Pingback: A propos de certaines lignes polygonales affines régulières III – Le cas des sécantes | Blog de Pierre Lecomte

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