A propos de certaines lignes polygonales affines régulières II – Le cas des parallèles

Je vais décrire dans ce billet les lignes polygonales affines régulières dont le paramètre est de la forme (-r,1,r).

Nous avons vu dans l’article précédant celui-ci que les sommets d’indices pairs d’une telle ligne \mathcal A sont situés sur une droite \mathcal D_0 et que ceux d’indices impairs sont situés sur une parallèle \mathcal D_1 à cette droite. Cela résulte du reste facilement de ce que

\forall k\in\mathbf Z,\quad \overrightarrow{A_{k+1}A_{k+3}}=r\overrightarrow{A_kA_{k+2}}

Sur l’image que voici

lpp_1

j’ai tracé quelques points de \mathcal A lorsque r=1/2. En passant à son inverse, c’est-à-dire en parcourant la ligne dans le sens des indices décroissants, on obtient un exemple pour lequel r=2.

Il découle facilement de la relation précédente que(*)

\forall k\in\mathbf Z,\quad \overrightarrow{A_kA_{k+2}}=r^k\overrightarrow{A_0A_2}

De là, pour k \geqslant 0,

\begin{array}{rcl}A_{2k}&=&A_0+\overrightarrow{A_0A_2}+\overrightarrow{A_2A_4}+\cdots+\overrightarrow{A_{2k-2}A_{2k}}\\[1ex]&=&A_0+\left(1+r^2+\cdots+r^{2(k-1)}\right)\overrightarrow{A_0A_2}\\[1ex]&=&A_0+\frac{1-r^{2k}}{1-r^2}\overrightarrow{A_0A_2}\end{array}

Semblablement

A_{2k+1}=A_1+r\frac{1-r^{2k}}{1-r^2}\overrightarrow{A_0A_2}

Nous sommes à présent en mesure de démontrer la propriété suivante dans laquelle \mathcal T désigne l’affinité associée à \mathcal A.

Si |r|\neq 1, alors \mathcal T^{\circ 2} possède une droite de points fixes. Celle-ci coupe \mathcal D_0 et \mathcal D_1 en les points

C_0=A_0+\frac{1}{1-r^2}\overrightarrow{A_0A_2} \quad \& \quad C_1=A_1+\frac{r}{1-r^2}\overrightarrow{A_0A_2}

On a

\begin{cases}C_0=\lim_{k\to+\infty}A_{2k}\\[1ex]C_1=\lim_{k\to+\infty}A_{2k+1}\end{cases}\quad \mbox{ou} \quad \begin{cases}C_0=\lim_{k\to-\infty}A_{2k}\\[1ex]C_1=\lim_{k\to-\infty}A_{2k+1}\end{cases}

selon que |r|<1 ou |r|>1 respectivement.

De plus, le milieu du segment [C_0,C_1] est l’unique point fixe de \mathcal T. Enfin, les vecteurs directeurs des droites \mathcal D_i sont les vecteurs propres de valeur propre r de \overrightarrow{\mathcal T} tandis que ceux de la droite C_0C_1 sont ses vecteurs propres de valeur propre -1.

Supposons d’abord que |r|<1. D’après ce qui précède, il est alors immédiat que

\begin{cases}C_0=\lim_{k\to+\infty}A_{2k}\\[1ex]C_1=\lim_{k\to+\infty}A_{2k+1}\end{cases}

Il résulte de ces égalités que les points C_i sont des points fixes de \mathcal T^{\circ 2} (et donc que C_0C_1 en est une droite de points fixes). Par exemple,

\mathcal T^{\circ 2}(C_0)=\mathcal T^{\circ 2}(\lim_{k\to+\infty}A_{2k})=\lim_{k\to+\infty}\mathcal T^{\circ 2}(A_{2k})=\lim_{k\to+\infty}A_{2(k+1)}=C_0

Notons ensuite M_k le milieu \frac 1 2 A_{2k}+\frac 1 2 A_{2k+1} du côté [A_{2k},A_{2k+1}] de \mathcal A et M'_k celui de [A_{2k+1},A_{2(k+1)}]. Le milieu M de [C_0,C_1] est un point fixe de \mathcal T, l’unique en l’occurrence, car

\mathcal T(M)=\mathcal T(\lim_{k\to+\infty}M_k)=\lim_{k\to+\infty}\mathcal T(M_k)=\lim_{k\to+\infty}M'_k=M

Les affirmations relatives aux vecteurs propres de \overrightarrow{\mathcal T} sont immédiates à vérifier. Il suffit d’appliquer ce dernier à \overrightarrow{A_0A_2} et \overrightarrow{C_0C_1} et de constater qu’il multiplie le premier par r et le second par -1, ce qui est tout facile.

Supposons à présent que |r|>1. Le paramètre de \mathcal B:=\mathcal A^{-1} est (-\frac 1 r,1,\frac 1 r). Nous pouvons donc lui appliquer ce que nous venons de démontrer. Pour rappel, B_k=A_{2-k} et l’affinité qui lui est associée est \mathcal T^{-1}. Les points

B_0+\frac{r^2}{r^2-1}\overrightarrow{B_0B_2}=\lim_{k\to+\infty}B_{2k}=\lim_{k\to-\infty}A_{2k}

et

B_1+\frac{r}{r^2-1}\overrightarrow{B_0B_2}=\lim_{k\to+\infty}B_{2k+1}=\lim_{k\to-\infty}A_{2k+1}

sont des points fixes de (\mathcal T^{-1})^{\circ 2} et le milieu du segment de droite qu’ils délimitent est un point fixe de \mathcal T^{-1}. Or, on le voit tout de suite, le premier est C_0 et le second C_1. Les points C_i sont donc des points fixes de \mathcal T^{\circ 2} et le milieu de [C_0,C_1] est un point fixe de \mathcal T. Enfin, \overrightarrow{B_0B_2}=\overrightarrow{A_2A_0} est un vecteur propre de valeur propre \frac 1 r de \mathcal T^{-1} et \overrightarrow{C_0C_1} en est un vecteur propre de valeur propre -1. Les mêmes vecteurs sont donc des vecteurs propres de valeurs propres respectives r et -1 de \mathcal T.

La propriété est ainsi établie.

Pour être exhaustif, je considère à nouveau ici les cas où |r|=1 bien que nous les ayons déjà rencontrés; ils ont d’ailleurs suscité cette suites de billets.

Voici quelques sommets d’une ligne de paramètre (-1,1,1), pour laquelle on a donc r=1.

lpp_2

Pour une telle ligne, \mathcal T^{\circ 2} est la translation de vecteur \overrightarrow{A_0A_2}. Ni lui ni \mathcal T n’ont donc de point fixe. Par ailleurs, \overrightarrow{A_0A_2} est un vecteur propre de valeur propre 1 de \overrightarrow{\mathcal T} qui admet également \overrightarrow{A_1A_0}+\overrightarrow{A_1A_2} comme vecteur propre de valeur propre -1.

Voici pour terminer une illustration de ce qu’il se passe lorsque r=-1.

lpp_3

Les lignes polygonales affines régulières de paramètre (1,1,-1) sont les seules lignes de paramètre de la forme (1,-s,s) dont la ligne des milieux des côtés ne soit pas polygonale. Celle-ci se réduit à deux sommets. L’un est le milieu des côtés [A_{2k},A_{2k+1}] et l’autre celui des côtés [A_{2k-1},A_{2k}]. Sur la figure, il s’agit des points M_0,M_1.

Le milieu de [M_0,M_1] est le seul point fixe de \mathcal T et de \mathcal T^{\circ 2}. De plus, la restriction de \mathcal T^{\circ 2} à \mathcal D_0 est la translation de vecteur \overrightarrow{A_0A_2} tandis que sa restriction à \mathcal D_1 est la translation de vecteur -\overrightarrow{A_0A_2}. Enfin, -1 est une valeur propre double de \overrightarrow{\mathcal T} et ses vecteurs propres sont les multiples de \overrightarrow{A_0A_2}.

__________
(*) Noter que r\neq 0 car pour une ligne polygonale affine régulière de paramètre (p,q,r), p\neq 0.

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