A propos de certaines lignes polygonales affines régulières III – Le cas des sécantes

Je vais achever cette série d’articles par la présentation des lignes polygonales affines régulières de paramètres (-q,q,1)q\neq 1. Il y a une autre valeur de q qui est exclue : 0, afin de garantir que l’on ait des lignes polygonales.

Nous avons vu dans le premier billet de la série que les sommets d’une telle ligne \mathcal A se répartissent sur deux droites sécantes. L’une, \mathcal D_0, contient les sommets d’indices pairs et l’autre, \mathcal D_1, contient ceux d’indices impairs. De plus, les deux droites se coupent en l’unique point fixe C de l’affinité \mathcal T associée à \mathcal A, point qui est également le seul point fixe de \mathcal T^{\circ 2}.

Le fait que le paramètre de \mathcal A soit (-q,q,1) se traduit par

\forall k\in\mathbf Z, \quad \overrightarrow{A_{k+2}A_{k+3}}=q\overrightarrow{A_kA_{k+1}}

Les droites A_{2k}A_{2k+1} sont donc toutes parallèles, de mêmes que les droites A_{2k-1}A_{2k}. Ceci est illustré dans la figure suivante, dans laquelle, visiblement, -1<q<0.

r=1_1

Il en résulte que la ligne \mathcal A est complètement déterminée par la donnée des deux droites sécantes \mathcal D_i et par le triangle A_0A_1A_2 (dont aucun sommet n’est à l’intersection de celles-ci) : A_3 est à l’intersection de la parallèle à A_0A_1 menée par A_2, A_4 est à l’intersection de la parallèle à A_1A_2 menée par A_3, etc. et dans l’autre sens, A_{-1} est à l’intersection de la parallèle à A_1A_2 menée par A_0, A_{-2} est à l’intersection de la parallèle à A_0A_1 menée par A_{-1}, etc.

En particulier, q est complètement fixé par ces données. Cela dit, A_1 ne joue aucun rôle dans la détermination de q car, plus précisément,

\overrightarrow{CA_2}=q\overrightarrow{CA_0}

Ceci nous donne une idée des valeurs de q en fonction de la position de A_2 sur la droite \mathcal D_0. En orientant celle-ci avec \overrightarrow{CA_0}, on obtient le tableau suivant dans lequel A'_0 est le symétrique de A_0 par rapport à C.

\begin{array}{l|c}A_2&q\\\hline\mbox{avant}\ A'_0&q<-1\\[1ex]\mbox{en}\ A'_0&q=-1\\[1ex]\mbox{entre}\ A'_0\ \mbox{et}\ C&-1<q<0\\[1ex]\mbox{entre}\ C\ \mbox{et}\ A_0&0<q<1\\[1ex]\mbox{apr\`es}\ A_0& q>1\end{array}

La relation précédente s’écrit \overrightarrow{\mathcal T}^{\circ 2}(\overrightarrow{CA_0})=q\overrightarrow{CA_0}. En appliquant \overrightarrow{\mathcal T} aux membres de cette égalité, nous obtenons \overrightarrow{\mathcal T}^{\circ 2}(\overrightarrow{CA_1})=q\overrightarrow{CA_1}. Ainsi, \overrightarrow{CA_0} et \overrightarrow{CA_1} sont des vecteurs propres — linéairement indépendants — de valeur propre q de \overrightarrow{\mathcal T}^{\circ 2}. Comme C en est un point fixe, \overrightarrow{\mathcal T}^{\circ 2} est donc l’homothétie de centre C et de rapport q.
En particulier,

\overrightarrow{CA_{2k}}=q^k\overrightarrow{CA_0} \quad \& \quad \overrightarrow{CA_{2k+1}}=q^k\overrightarrow{CA_1}

Dès lors,

Si |q|< 1, alors C=\lim_{k\to+\infty} A_k.

L’image ci-dessus illustre cette convergence pour -1<q<0. Voici une illustration pour 0<q<1

r=1_2

En passant à l’inverse de \mathcal A, dont le paramètre est (-\frac 1 q,\frac 1 q,1), on obtient

Si |q| > 1, alors C=\lim_{k\to-\infty} A_k.

Lorsque q=-1, la ligne \mathcal A est périodique, c’est un parallélogramme dont les diagonales sont sur \mathcal D_1 et \mathcal D_2. En particulier il n’y a convergence ni en +\infty ni en -\infty.

Ajout du 6 octobre 2015

Je n’ai pas encore compris complètement ce qu’est l’affinité \mathcal T mais je peux faire à son propos deux remarques.

Premièrement, la restriction de \mathcal T à \mathcal D_0 est la projection sur \mathcal D_1 parallèlement à \overrightarrow{A_0A_1} et, pareillement, sa restriction à \mathcal D_1 est la projection sur \mathcal D_0 parallèlement à \overrightarrow{A_1A_2}.

On construit donc facilement l’image d’une droite qui coupe les droites \mathcal D_i et par suite, l’image d’un point, celle-ci étant à l’intersection des images de deux droites passant par lui et coupant les droites \mathcal D_i. Ceci est illustré sur le dessin suivant.

image

On a fait passer par un point P deux droites coupant les droites \mathcal D_i. L’une est dessinée en vert, la seconde en brun. L’image de chacune est représentée dans sa couleur. Les petits segments dessinés en gris relient chacun un point à son image par \mathcal T. Le point \mathcal T(P) est P'.

Sur ce dessin, j’ai choisi arbitrairement les droites auxiliaires passant par P. Il y a des choix plus judicieux. Par exemple, les droites menées par P parallèlement à \overrightarrow{A_0A_1} et \overrightarrow{A_1A_2} conviennent pour autant qu’aucune ne passe par C et simplifient notablement la construction de l’image.

Notons encore ceci(*)

Si q>0, alors \mathcal T stabilise deux droites sécantes en \mathcal C qui forment avec les droites \mathcal D_i un quaterne harmonique.

Pour voir cela le plus simple est sans doute de passer au repère (C,(\overrightarrow{CA_0},\overrightarrow{CA_1})). Dans celui-ci, \overrightarrow{\mathcal T} est représenté par la matrice

\begin{pmatrix}0&q\\1&0\end{pmatrix}

Les composantes (u,v) de ses vecteurs propres vérifient l’équation u^2-qv^2=0. Ainsi, \mathcal T stabilise les droites d’équations x\pm\sqrt q y=0. Pour conclure, il suffit d’observer que, dans tout repère, le quaterne des droites d’équations x=0,y=0,y=mx, y=-mx (dans cet ordre) est harmonique, ce qui est immédiat.

En général, quand l’affinité associée à une ligne polygonale régulière \mathcal B possède un point fixe, elle stabilise aussi deux droites qui se coupent en ce point (toujours sous réserve d’admettre éventuellement des droites complexes conjuguées). Elles coupent la droite B_0B_1 en des points B'_0, B'_1 et on peut vérifier que le rapport anharmonique [B_0,B_1,B'_0,B'_1] ne vaut -1 que si le paramètre de \mathcal B est de la forme (-q,q,1)q\neq 1.

Pour l’instant, je ne sais pas construire géométriquement les droites stabilisée par \mathcal T à l’aide des droites \mathcal D_i et du triangle A_0A_1A_2. Si j’y parviens jamais, j’en dirai un mot, ici ou dans un autre billet selon la taille de ce qu’il y aurait à raconter alors.

Ajout du 8 octobre 2015

Comme souvent, je rédige trop rapidement le résultat de mes cogitations. Il arrive ainsi que je consigne des choses qui n’ont pas assez décanté. C’est le cas de la construction de l’image d’un point P par l’affinité \mathcal T. L’observation clé est celle-ci : \mathcal T transforme les droites parallèles à A_0A_1 en des droites parallèles à A_1A_2 et les droites parallèles à A_1A_2 en des droites parallèles à A_0A_1. Il en résulte en effet immédiatement que l’image d’un point P par \mathcal T est le quatrième sommet du parallélogramme dont trois sommets sont P, l’intersection Q_0 de la parallèle à A_1A_2 menée par P avec \mathcal D_0 et l’intersection Q_1 de la parallèle à A_0A_1 menée par P avec \mathcal D_1. Ceci est illustré ci-dessous où, pour ne pas alourdir le dessin, je n’ai pas tracé la ligne \mathcal A (sinon, bien entendu, les côtés [A_0,A_1] et [A_1,A_2] qui fixent les directions utilisées pour construire le parallélogramme). L’image est notée P'.

construction

_________
(*) A condition d’admettre de parler de droites complexes conjuguées, cette propriété est vraie également lorsque q<0.

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