Une remarque en passant : une équation implicite pour les vecteurs propres d’une matrice de taille deux II

Dans cet article, je montrais que les solutions non nulles (u,v) de l’équation

cu^2+(d-a)uv-bv^2=0

sont les vecteurs propres de la matrice

A= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Je voyais en cela une remarque, certes utile — je l’ai utilisée plusieurs fois dans ce blog — mais surtout technique. En fait, comme je viens de l’observer, les choses sont un peu plus subtiles et voici ce qu’il se passe.

L’idée en arrière plan est que la forme quadratique

q_A: (u,v)\mapsto cu^2+(d-a)uv-bv^2

est intrinsèquement associée à l’endomorphisme représenté par la matrice A. Je dois bien entendu préciser ce que j’entends par là d’autant que « intrinsèquement » réfère aux bases qui définissent une structure unimodulaire.

Soit donc un espace vectoriel E de dimension deux sur un corps commutatif \mathbf K de caractéristique nulle. Nous supposons cet espace muni d’une SL(2,\mathbf K)-structure \mathcal U, et nous convenons de ne considérer que des bases de E qui appartiennent à cette structure. (La notion de G-structure sur un espace vectoriel réel est abordée ici. L’adaptation à un corps quelconque est facile.) Cela étant,

Pour toute application linéaire \mathcal T de E dans lui-même, il existe une seule forme quadratique q_{\mathcal T} sur E telle que, si A est la matrice représentant \mathcal T dans une base de la structure \mathcal U, q_A est l’expression de q_{\mathcal T} dans cette base.

Pour établir ceci, je vais utiliser un des théorèmes fondamentaux de la théorie des invariants de SL(n,\mathbf K). Le voici.

Soit V=\mathbf K^n. Une fonction polynômiale

\mathcal P: (x_1,\ldots, x_p,\xi^1,\ldots,\xi^q)\in V^p\times  V^{*q}\mapsto \mathcal P(x_1,\ldots, x_p,\xi^1,\ldots,\xi^q)\in \mathbf K

invariante sous l’action naturelle de SL(n,\mathbf K) est un polynôme en les contractions \xi^j(x_i) et les déterminants \det\left(x_{i_1} \cdots x_{i_n}\right) et \det\left(\xi^{j_1} \cdots \xi^{j_n}\right).

Voici alors comment on peut démontrer la première propriété. Le fait que l’expression de l’application \mathcal T\mapsto q_{\mathcal T} cherchée soit la même dans toutes les bases de la structure \mathcal U se traduit par le fait qu’elle est invariante sous l’action naturelle de SL(2,\mathbf K) puisque, par définition, les matrices de passage entre bases d’une SL(2,\mathbf K)-structure appartiennent à SL(2,\mathbf K). Cherchons alors les applications linéaires SL(2,\mathbf K)-invariantes \Phi qui associent à une matrice A\in gl(2,\mathbf K) une forme quadratique \Phi(A) sur V=\mathbf K^2. Pour alléger l’écriture, nous désignerons aussi par \Phi(A) la forme bilinéaire symétrique associée (par polarisation) à cette forme quadratique. D’après le théorème fondamental rappelé ci-dessus, il existe \alpha,\beta,\gamma\in \mathbf K tels que

\Phi(z\otimes \xi)(x,y)=\alpha \xi(z)\det (x\ y)+\beta \xi(x)\det(y\ z)+\gamma \xi(y)\det(x\ z)

pour tout (x,y,z,\xi)\in V^3\times V^*. Mais pour que la forme bilinéaire \Phi(x\otimes \xi) soit symétrique, il faut (et il suffit) que \alpha soit nul et que \beta=\gamma. Dès lors, pour toute matrice A et tous x,y\in V(*),

\Phi(A)(x,y)=\beta\left(\det(x\ Ay)+\det (y\ Ax)\right)

En notant comme plus haut a,b,c,d les entrées de A et en notant u,v les composantes de x, la forme quadratique \Phi(A) est donc donnée par

\Phi(A)(x)=2\beta\det\begin{pmatrix}u&au+bv\\v&cu+dv\end{pmatrix}=2\beta q_A(x)

ce qui achève la démonstration.

Celle-ci met en évidence la fonction qui associe à deux éléments de E le déterminant \det(x\ y) de leur composantes dans une base quelconque de la structure \mathcal U. C’est en fait la forme volume \omega associée à la structure. La forme quadratique q_{\mathcal T} est alors tout simplement donnée par

q_{\mathcal T}(\mathbf u)=\omega(\mathbf u,\mathcal T(\mathbf u))

Il est particulièrement évident, avec cette expression, que les \mathbf u non nuls qui annulent q_{\mathcal T} sont exactement les vecteurs propres de \mathcal T(**).

Il résulte aussi de la démonstration que les formes bilinéaires antisymétriques qui dépendent intrinsèquement et linéairement de \mathcal T semblent former un espace de dimension deux et qu’il admet une base constituée des deux applications définies par

\begin{cases}\mbox{tr}(\mathcal T)\omega(\mathbf u,\mathbf v)\\[1ex]\omega(\mathbf u,\mathcal T(\mathbf v))-\omega(\mathbf v,\mathcal T(\mathbf u))\end{cases}

\mbox{tr} désigne la trace. Mais c’est trompeur, un petit calcul en composantes montre en effet que

\omega(\mathbf u,\mathcal T(\mathbf v))-\omega(\mathbf v,\mathcal T(\mathbf u))=\mbox{tr}(\mathcal T)\omega(\mathbf u,\mathbf v)

Ainsi, à multiples près, la structure \mathcal U définit une seule application linéaire invariante sur gl(2,\mathbf K) à valeurs dans les formes quadratiques (ou, ce qui revient au même, bilinéaires symétriques) et une seule à valeurs dans les formes bilinéaires antisymétriques. Il s’agit respectivement de \mathcal T\mapsto q_{\mathcal T} et \mathcal T\mapsto \mbox{tr}(\mathcal T)\omega.

😉

P.S. L’espace des formes bilinéaires antisymétriques sur un espace vectoriel de dimension deux est lui-même de dimension un. De façon générale, en effet, sur un espace de dimension n, l’espace des formes n-linéaires antisymétriques est de dimension un. Il n’est donc ni accidentel ni étonnant que les deux formes antisymétriques montrées en fin d’article soient proportionnelles : au contraire, c’est obligé! P.L. 17/10/2015

__________
(*) Pour voir cela lorsqu’on est pas familiarisé avec ce genre de calcul, le plus simple est de noter qu’appliquer la matrice z\otimes \xi à x donne \xi(x)z et, qu’en général, A=\sum_{i,j}a_{ij}e_i\otimes \varepsilon^j où les e_k décrivent la base canonique de V et les \varepsilon^\ell sa base duale.

(**) Pour rappel, \omega(\mathbf u,\mathbf v) est nul si, et seulement si, \mathbf u,\mathbf v sont liénairement dépendants.

Une réflexion sur “Une remarque en passant : une équation implicite pour les vecteurs propres d’une matrice de taille deux II

  1. Pingback: En guise d’exercice : une propriété des affinités planes | Blog de Pierre Lecomte

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