En guise d’exercice : une propriété des affinités planes

A force de réfléchir aux propriétés de certaines lignes polygonales affines régulières, j’ai fait une constatation élémentaire sur les transformations affines d’un plan qui conduit à de belles coniques.

Je vous explique de quoi il s’agit, vous montre le résultat et vous propose de le prouver en guise d’exercice.

Considérons une affinité \mathcal T d’un plan affine \mathcal E. Nous supposerons tout au long de ce billet qu’elle est bijective. Clairement, l’image \mathcal T(\mathcal D) d’une droite \mathcal D lui est parallèle si, et seulement si, les vecteurs directeurs de cette droite sont des vecteurs propres de \overrightarrow{\mathcal T}.

Un cas particulièrement frappant est celui des homothéties de rapport non nul : elles transforment toute droite en une droite parallèle! Et de fait, l’application linéaire associée à une homothétie est un multiple de l’identité. Dans la suite, nous supposerons que \overrightarrow{\mathcal T} a au plus deux directions propres indépendantes, autrement dit qu’il n’est pas un multiple de l’identité.

Ainsi, génériquement, l’image par \mathcal T d’une droite de \mathcal E et cette droite sont sécantes. En particulier, chacune des droites passant par un point donné O, sauf peut-être deux d’entre elles, coupe son image. Eh bien, le lieu de ces intersections est une conique \Gamma! Ce n’est sans doute pas étonnant et c’est probablement bien connu. Pour ma part, ce n’est que depuis quelques jours que j’ai observé cette propriété.

Voici deux exemples de telles coniques. Dans le premier, \Gamma est une hyperbole. C’est une ellipse dans le second.

Dans les deux cas, on dispose de quatre points A_0,A_1,A_2,A_3 tels que les droites A_0A_2 et A_1A_3 soient sécantes et A_0A_1 soit parallèle à A_2A_3. L’affinité considérée est alors celle qui applique A_0 sur A_1, A_1 sur A_2 et A_2 sur A_3. L’intersection de A_0A_2 et A_1A_3, notée C, est un point fixe de cette affinité.

construction_1

Pour que le logiciel de géométrie dynamique utilisé pour réaliser ces illustrations puisse tracer le lieu, je lui ai décrit les droites passant par O comme étant celles passant par O et un point P décrivant une courbe tournant autour de celui-ci. En l’occurrence un cercle centré en O. On note O', P' les images de O et P par l’affinité et l’intersection des droites OP et O'P' est le point noté M. Naturellement, le plan \mathcal E étant seulement affine, la notion de cercle n’y est pas définie et c’est seulement au niveau du logiciel que « cercle » fait sens; au niveau de \mathcal E c’est au mieux une ellipse. Par ailleurs, lorsque P décrit le cercle en question, M décrit deux fois le lieu puisque les positions diamétralement opposées de P définissent la même droite passant par O.

construction_2

Voici quelques propriétés générales de \Gamma.

  • Les directions asymptotiques éventuelles de \Gamma sont les directions propres de \overrightarrow{\mathcal T}.
  • La conique \Gamma passe par les points fixes de \mathcal T ainsi que les points O et O'.
  • La conique \Gamma est dégénérée si, et seulement si, \overrightarrow{OO'} est un vecteur propre de \overrightarrow{\mathcal T}.
  • L’image de la tangente à \Gamma en O par \mathcal T est OO'.
  • L’image de OO' par \mathcal T est la tangente à \Gamma en O'.

Je vous convie à démontrer l’existence de \Gamma et à prouver ces propriétés.

😉

Ajout du 21 octobre 2015

Voici deux propriétés supplémentaires de \Gamma.

  • Le centre de \Gamma se trouve sur OO' si, et seulement si, la trace de \overrightarrow{\mathcal T} est nulle.
  • Soit une forme volume \omega de \overrightarrow{\mathcal E}. Le point M appartient à \Gamma si, et seulement si,

    \omega(\overrightarrow{O'M},\overrightarrow{\mathcal T}(\overrightarrow{OM}))=0

Dans nos deux exemples, le centre de \Gamma est effectivement sur OO' mais il n’a pas été dessiné.
La seconde propriété est à comprendre dans l’esprit de ce billet. Elle donne une sorte d’équation intrinsèque de la conique \Gamma. Elle est facile à vérifier. Il suffit pour cela d’observer que \omega(\mathbf u,\mathbf v)=0 si, et seulement si, \mathbf u,\mathbf v sont linéairement dépendants. En l’explicitant dans un repère, on obtient une équation cartésienne de celle-ci avec laquelle les autres propriétés peuvent être aisément démontrées.

Ajout du 27 octobre 2015

Comme je le pressentais, la propriété énoncée plus haut est connue. Elle est une particularisation de la réciproque d’un théorème classique de géométrie projective connu sous le nom de théorème de Chasles-Steiner. Vous trouverez ici une référence directement accessible où la propriété présentée dans ce billet est décrite. Mais c’est dans une autre source que j’ai découvert l’existence de ce théorème, un peu après avoir rédigé le complément du 21 octobre. En l’occurrence, il s’agit d’un remarquable petit livre dont je recommande vivement la lecture. C’est une excellente introduction à la géométrie projective et, en plus, il est très bien écrit et facile à lire. Voici les coordonnées de ce livre : Un bref aperçu de la géométrie projective, Benoît Kloeckner, Calvage et Mounet, Paris 2012.

Pour faire le lien avec la géométrie projective et le théorème de Chasles-Steiner, il suffit de considérer l’ensemble des droites de \mathcal E passant par O comme étant une droite projective réelle (c’est en effet l’espace projectif associé canoniquement à l’espace vectoriel des vecteurs liés en ce point). Il est facile de voir que \mathcal T, qui transforme ces droites en celles liées en O', induit une homographie entre les deux droites projectives réelles associées ainsi à O et à O', ce qui permet d’appliquer la construction de Chasles-Steiner.

Il est certain que la géométrie projective fournit des preuves élégantes de nombres de résultats (celle du théorème de Chasles-Steiner présentée dans le livre mentionné plus haut est effectivement simple et belle). Cela dit, la preuve obtenue dans mon ajout du 21 octobre, utilisant une forme volume \omega, est particulièrement simple et expéditive mais, c’est vrai, elle masque le caractère projectif de la propriété.

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