Les racines carrées d’une homothétie plane I

Je me propose de déterminer les affinités d’un plan affine \mathcal E dont le carré (au sens de la composition) est une homothétie. Je consacrerai deux billets à cet objectif et vous saurez certainement à la lecture du second pourquoi je le poursuis, ce que vous savez peut-être déjà pour avoir lu certains de mes billets récents.

Notons \mathcal H_{O,k} l’homothétie de centre O et de rapport k et \mathcal T une affinité telle que

(1) \mathcal T^2=\mathcal H_{O,k}

Pour alléger les écritures, je désignerai par T l’application linéaire \overrightarrow{\mathcal T} associée à \mathcal T. L’application linéaire associée à \mathcal H_{O,k} est simplement la multiplication par k.

La discussion qui suit est largement basée sur les valeurs que peuvent prendre la trace \mathrm{tr\ }T de T et son déterminant. A ce propos, afin d’exploiter (1), il est utile de noter que(*)

\mathrm{tr\ }T^2=(\mathrm{tr\ }T)^2-2\det T

Cela étant, il résulte de (1) que T^2 est la multiplication par k. Ainsi, sa trace vaut 2k et son déterminant k^2. Dès lors

\begin{cases}\det T=\pm k\\[1ex](\mathrm{tr\ }T)^2=2k+2\det T\end{cases}

Il y a donc deux grands cas à considérer, à savoir

\boxed{A} : \det T=k, k\geqslant 0, \mathrm{tr\ }T=\pm2\sqrt k \quad \& \quad \boxed{B} : \det T=-k, k\neq 0, \mathrm{tr\ }T=0

Nous poursuivrons ce billet avec le premier laissant le second pour le billet suivant.

Le cas \boxed{A}

Le polynôme caractéristique \lambda^2-(\mathrm{tr\ }T)\lambda + \det T de T est \left(\lambda\mp\sqrt k\right)^2. Comme T l’annule, il existe un endomorphisme N de l’espace des vecteurs libres de \mathcal E tel que T=\pm \sqrt k I+N et N^2=0, où je désigne par I l’identité de cet espace dans lui-même. Alors T^2=kI\pm2\sqrt k N de sorte que \sqrt k N=0 (n’oublions pas (1)!) et le cas étudié se subdivise aussi : k est nul ou ne l’est pas.

a) \boxed{k=0}

L’homothétie \mathcal H_{O,k} est l’application constante c_O : P\mapsto O. Nous allons voir que ses « racines carrées » sont c_O et les affinités obtenues comme suggéré par l’image suivante.

T_1

P' désigne l’image de P. Il s’agit des applications de la forme \mathcal Q\circ\mathcal P\mathcal P est la projection sur \mathcal B parallèlement à \mathcal A et \mathcal Q est la projection sur \mathcal A parallèlement à \mathcal C, \mathcal A, \mathcal B, \mathcal C étant trois droites quelconques passant par O.

Il est évident que les carrés de c_O et de ces affinités sont égaux à c_O. Il s’agit donc de montrer qu’il n’y a pas d’autres racines carrées de c_O. On poursuit avec les notations utilisées plus haut.

On a T^2=0. De plus, \mathcal T(O)=O. En effet, avec \mathcal T(O)=O', on a

T(\overrightarrow{OO'})=-\overrightarrow{OO'}

car

O=\mathcal T^2(O)=\mathcal T(O')=O'+T(\overrightarrow{OO'})

Dès lors, si O'\neq O, alors -1 est une valeur propre de T ce qui est absurde puisque T^2 est nul. Par conséquent, O=O' comme annoncé.

Nous sommes de nouveau en présence d’une alternative : soit T est nul, soit il ne l’est pas.

Dans le premier cas, \mathcal T=c_O.

Dans le second, il existe \mathbf u tel que \mathbf v=T(\mathbf u)\neq 0. Clairement, \mathbf u et \mathbf v sont linéairement indépendants et, dans le repère (O,(\mathbf u,\mathbf v)) de \mathcal E, \mathcal T est représenté par l’application (x,y)\mapsto (y,0). C’est donc une affinité de la forme prévue, les droites \mathcal A,\mathcal B et \mathcal C étant celles d’équations y=0, x=0 et x+y=0.

b) \boxed{k > 0}

Cette fois-ci, N=0, T=\pm \sqrt k I et on déduit de \mathcal T^2(O)=O que

(1\pm\sqrt k)\overrightarrow{OO'}=0

ce qui nous confronte à une nouvelle alternative : k vaut 1 ou est différent de 1.

Lorsque k\neq 1, O'=O et \mathcal T=\mathcal H_{O,\pm\sqrt k}. On se doutait bien que ces homothéties apparaitraient, à cause du fait que

\mathcal H_{O,k}\circ \mathcal H_{O,\ell}=\mathcal H_{O,k\ell}

Cela dit, quand k=1, \mathcal H_{O,k} est l’identité et T=\pm I. Si T=I, alors O'=O et \mathcal T est l’identité aussi. Mais lorsque T=-1, O' peut être distinct de O et \mathcal T est une symétrie centrale.

T_2

En effet, on a alors

P'=\mathcal T(P)=O'-\overrightarrow{OP}

de sorte que OPO'P' est un parallélogramme. Il s’agit encore d’une homothétie, de rapport -1, mais son centre est arbitraire, ce qui correspond au fait que tout point du plan \mathcal E joue le rôle de centre pour notre homothétie initiale \mathcal H_{O,1}. On pourrait donc résumer les conclusions de cette partie b) de la discussion en disant que chaque racine carrée de \mathcal H_{O,k} est une homothétie de rapport \pm \sqrt k et dont le centre est un centre de \mathcal H_{O,k}.

Voilà! Ce sera tout pour ce billet.

😉
__________
(*) Cette relation est très facile à vérifier. Elle découle par exemple immédiatement du fait que la trace de T^2 est la somme des carrés des valeurs propres de T, celle de T est leur somme et le déterminant de T est leur produit.

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