Les racines carrées d’une homothétie plane II

Voici la suite du billet précédent. Les notations sont inchangées et j’entre aussitôt dans le vif du sujet, sans faire de rappels sinon ceci : nous cherchons les affinités \mathcal T d’un espace affine \mathcal E dont le carré est l’homothétie \mathcal H_{O,k} de centre O et de rapport k\neq 0, sachant que l’application linéaire T associée à \mathcal T est telle que \det T=-k et \mathrm{tr\ }T=0, hypothèses que nous avons regoupées sous la dénomination « le cas » \boxed{B}.

Le cas \boxed{B}

Le polynôme caractéristique de T est \lambda^2-k. Ainsi, puisque k\neq 0, T possède deux valeurs propres simples : \pm\sqrt k si k>0 et \pm i\sqrt{|k|} si k<0. Il en va de même de la matrice

\begin{pmatrix}0&k\\1&0\end{pmatrix}

Il se fait que lorsque deux matrices réelles sont semblables sur \mathbf{C}, elles le sont aussi sur \mathbf{R}. Il existe donc des bases de l’espace vectoriel des vecteurs libres de \mathcal E dans lesquelles T est représenté par cette matrice.

Soit un repère (O,\mathcal B) de \mathcal E\mathcal B est l’une de ces bases. Dans celui-ci, \mathcal T est donc représenté par l’application

(x,y)\mapsto (ky+\ell,x+m)

(\ell,m) sont les coordonnées de O'=\mathcal T(O). L’application \mathcal T^2 l’est donc par

(x,y)\mapsto(kx+km+\ell,ky+\ell+m)

et l’on a \mathcal T^2=\mathcal H_{O,k} si, et seulement si,

\begin{cases}km+\ell=0\\m+\ell=0\end{cases}

Les points O et O' sont distincts si \ell\neq 0 ou m\neq 0, ce qui implique k=1. Nous distinguerons donc les cas k\neq 1 et k=1.

a) \boxed{k\neq 1}

Le point O est un point fixe de \mathcal T. Par ailleurs, un petit calcul en coordonnées permet de montrer que

\forall P\in\mathcal E, \quad \mathcal T^3(P)=-kP+k\mathcal T(P)+\mathcal T^2(P)

Il en résulte que \mathcal T est l’affinité associée à une ligne polygonale affine régulière de paramètre (-k,k,1). Notons en effet A_0 le point de coordonnées (1,0) et \mathcal A la suite de points j\mapsto A_j:=\mathcal T^j(A_0). Les coordonnées de A_1 et A_2 sont (0,1) et (k,0). Les points A_0,A_1,A_2 ne sont donc pas alignés, car k\neq 1, et on conclut alors que \mathcal A est une ligne polygonale répondant à la question grâce à un résultat de ce billet.

Dans celui-ci, nous avions établi que, réciproquement, l’affinité associée à une ligne polygonale affine régulière de paramètre (-q,q,1), où q\notin\{0,1\}, possède un point fixe C, que son carré est l’homothétie de centre C et de rapport q et que le déterminant de l’application linéaire associée vaut -q, sa trace étant nulle.

Nous avons donc identifié toutes les racines carrées de \mathcal H_{O,k} tombant sous le cas \boxed{B} avec k\neq 1.

b) \boxed{k=1}

L’homothétie \mathcal H_{O,k} est l’identité et nous allons voir que ses racines carrées relevant du cas \boxed{B} sont les affinités construites comme suggéré par le dessin suivant.

T_3

Il s’agit des applications de la forme \mathcal Q\circ \mathcal P\mathcal P est la symétrie par rapport \mathcal D parallèlement à \mathbf u et \mathcal Q est la translation de vecteur \mathbf u, \mathcal D étant une droite passant par O et \mathbf u un vecteur libre qui ne lui est pas parallèle. Dans un repère (O,(\mathbf u,\mathbf v)), où \mathbf v est parallèle à \mathcal D, \mathcal Q\circ \mathcal P est représenté par l’application (x,y)\mapsto (1-x,y). C’est donc en effet une racine carrée de l’identité qui vérifie les hypothèses du cas \boxed{B}.

Il reste à voir qu’on obtient bien ainsi toutes ces racines carrées. Revenons aux notations de plus haut. Dans le repère (O,\mathcal B)), \mathcal T est représenté par l’application (x,y)\mapsto (y,x)+(\ell,-\ell), où (\ell,-\ell) sont les composantes de \overrightarrow{OO'} selon \mathcal B. Il est donc de la forme requise, obtenue au moyen de la droite \mathcal D d’équation x=y et de \mathbf u=\overrightarrow{OO'}.

Voilà, l’objectif est atteint : nous connaissons toutes les racines carrées possibles des homothéties planes!
Et le point a) ci-dessus vous aura sans doute fait découvrir ce qui m’a incité à les déterminer…

😉

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