Un petit exercice sur l’exponentielle matricielle

On désigne par gl(n,\mathbf R) l’ensemble des matrices réelles carrées de taille n et par GL(n,\mathbf R) le sous ensemble de gl(n,\mathbf R) formé de ses matrices non singulières.

Il est proposé de montrer que si A,B\in GL(n,\mathbf R) sont assez proches alors il existe H\in gl(n,\mathbf R) tel que B=Ae^H.

Bon amusement!😉

N.B. Pour rappel,

e^H=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}H^k

est l’exponetielle de la matrice H.

9 réflexions sur “Un petit exercice sur l’exponentielle matricielle

  1. Comme A et B sont inversibles, il suffit de montrer que pour tout A dans un voisinage de la matrice unité, H existe telle que A=e^H.
    (l’égalité est en effet équivalente à A^{-1}B = e^H).

  2. Ensuite, on peut démontrer le théorème suivant: pour tous réels s et t et toute matrice non singulière A, on a

    e^{sA}e^{tA} = e^{(s+t)A}

  3. Comme ThM (Thomas Mann?) écrit, il suffit de montrer qu’ il existe un voisinage V de la matrice unité I_n tel que pour toute matrice C dans V, il existe un matrice H telle que \exp(H)=C. D’après la définition de \exp on a \exp(0_n)=I_n et l’application X\mapsto I_n+X est la meilleure approximation affine de \exp au voisinage de 0_n, et puisqu’elle est inversible l’application \exp est un difféomorphisme local en 0_n.

    • Bien vu! Je procède de façon semblable mais je ne passe pas par l’identité : je démontre que l’application f:H\mapsto Ae^H est un difféomorphisme d’un voisinage ouvert de 0_n dans gl(n,\mathbf R) sur un voisinage ouvert de A dans GL(n,\mathbf R) en vérifiant que sa différentielle est non singulière à l’origine. C’est immédiat vu que

      f_{*0_n}H=\frac{d}{dt}\left(Ae^{tH}\right)_{|t=0}=AH

      • Tout compte fait, l’intérêt de passer par la matrice unité est d’uniformiser les voisinages, au sens suivant : si \omega convient pour I_n, alors A\omega convient pour A

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