A propos des angles d’un triangle

Introduction

Comme je le précisais ici, je définis — à l’instar beaucoup d’autres du reste — la notion d’espace affine en donnant un rôle central aux translations. Ainsi, une structure d’espace affine modelée sur un espace vectoriel E est une action à droite libre et transitive du groupe additif de cet espace sur un ensemble \mathcal E. L’action de \mathbf u est la translation de vecteur \mathbf u.

L’espace affine \mathcal E est alors un espace euclidien si E est lui-même un espace vectoriel euclidien, c’est-à-dire s’il est réel et muni d’un produit scalaire, disons g, ce qui permet d’introduire sur \mathcal E les notions d’angle et de distance.

La distance de deux points A,B de \mathcal E est la longueur

\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{g(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})}

de l’unique vecteur dont la translation transforme A en B.

Quant à l’angle de deux vecteurs non nuls \mathbf u,\mathbf v\in E, plus précisément, l’angle non orienté, il est défini par son amplitude, avec laquelle je le confond. C’est l’unique nombre \varphi\in[0,\pi] dont le cosinus soit donné par

\cos\varphi=\frac{g(\mathbf u,\mathbf v)}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|}

Ceci permet de définir les attributs métriques usuels des triangles, comme illustré sur le dessin suivant.

Triangle

Par définition, les longueurs des côtés du triangles sont les nombres

a=\|\overrightarrow{BC}\|,b=\|\overrightarrow{CA}\|, c=\|\overrightarrow{AB}\|

tandis que l’angle en un sommet du triangle est l’angle non orienté entre les vecteurs joignant ce sommet aux deux autres. Par exemple, \alpha est l’angle des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Cette façon de faire présente des avantages importants. Elle permet par exemple très facilement de vérifier l’inégalité triangulaire, à savoir

d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(C,B)

l’égalité ayant lieu si, et seulement si, le point C appartient au segment [A,B], ce qui montre aussitôt que dans tout triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme de celles des deux autres. Elle donne aussi très facilement le théorème de Pythagore généralisé(*) que j’énonce en formule pour simplifier

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Ces deux résultats résultent trivialement des propriétés élémentaires des produits scalaires, le point de départ consistant à utiliser la relation de Chasles puis à développer le carré scalaire :

\|\overrightarrow{AB}\|^2=g(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})

Mais la méthode présente également quelques inconvénients. Elle rend par exemple assez délicate la vérification du fait que la somme des angles d’un triangle vaut \pi(**) et complique un peu celle de la règle des sinus.

Je présente dans ce billet des preuves de ces deux propriétés, développées dans le cadre de l’approche décrite dans cette introduction.

La règle des sinus

En utilisant le théorème de Pythagore généralisé, on obtient, compte tenu du fait que les sinus des angles d’un triangle sont positifs puisque ceux-ci sont compris entre 0 et \pi,

\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}=\cdots=\frac{\sigma}{2bc}

où on a posé

\sigma=\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}

(On observe que le produit sous le radical est strictement positif en raison de l’inégalité triangulaire.)

De là

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{2abc}{\sigma}

Comme \sigma est totalement symétrique en a,b,c, il vient finalement

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{2abc}{\sigma}

Notez que si on disposait de la notion d’aire et si on savait que celle d’un triangle est toujours la moitié du produit des longueurs de deux côtés et du sinus de l’angle qu’ils comprennent, alors on obtiendrait très facilement la règle des sinus car en notant \mathcal S l’aire du triangle ABC, on aurait

\mathcal S=\frac 1 2bc\sin\alpha=\frac 1 2ca\sin\beta=\frac 1 2ab\sin\gamma

et donc

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{abc}{2\mathcal S}

A ma connaissance, c’est d’ailleurs ce que font la plupart des enseignants des écoles secondaires belges francophones. Il faut dire que dans ce contexte, on ne se tracasse pas beaucoup avec la définition de la notion d’aire, c’est bien normal, et les formules élémentaires donnant celles des figures les plus courantes sont supposées connues depuis l’école primaire (« base fois hauteur sur deux », « longueur fois largeur », « pi fois le carré du rayon », etc.)

Mais il est clair que dans une reconstruction ab initio de la géométrie, l’introduction de la notion d’aire (d’une mesure finalement) est assez délicate(***).

Quoiqu’il en soit, en confrontant les deux calculs, on voit que \mathcal S=\sigma/4. Ce théorème est connu sous le nom de Formule de Héron.

La valeur commune des trois rapports a/\sin\alpha,\ldots est en fait le double du rayon du cercle circonscrit du triangle ABC.

sinus

Pour vérifier cela, on utilise le fait que des angles inscrits dans un cercle qui sont sous-tendus par une même corde et qui sont situés d’un même côté de celle-ci sont égaux. Notons alors A' la seconde extrémité du diamètre passant par B du cercle circonscrit au triangle ABC. Les angles inscrits de sommets A et A' et sous-tendus par [B,C] sont égaux. Mais le triangle A'CB est rectangle en C et, comme dans un triangle rectangle, un côté de l’angle droit est le produit de l’hypothénuse et du sinus de l’angle opposé, nous avons

a=\|BC\|=2R\sin\alpha

R est le rayon du cercle, et le tour est joué.

C’est très simple mais cela repose sur une propriété des angles inscrits qui n’est pas facile à établir dans l’axiomatique de la géométrie utilisée ici.

Incidemment, nous venons de prouver que

R=\frac{abc}{4\mathcal S}

La somme des angles d’un triangle

Nous allons à présent vérifier que la somme des angles d’un triangle vaut \pi.

Commençons par montrer que \alpha+\beta\in[0,\pi]. Pour cela, il suffit de voir que \sin(\alpha+\beta)>0 car \alpha+\beta\in[0,2\pi]. Or, avec les notations du paragraphe précédent,

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\frac{\sigma}{2bc}\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{\sigma}{2ca}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{\sigma}{2ab}>0

En fait, nous venons de montrer que \sin(\alpha+\beta)=\sin\gamma ce qui, compte tenu de ce que \alpha+\beta,\gamma\in[0,\pi], nous laisse deux possibilités : \gamma=\alpha+\beta et \gamma=\pi-(\alpha+\beta). Pour conclure, il suffit dès lors de prouver que

\cos\gamma=\cos(\pi-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)

car \cos est injectif dans [0,\pi]. Or

-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{4abc^2}[\sigma^2-(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)]

Un peu de calcul montre que l’expression entre crochets vaut 2c^2(a^2+b^2-c^2) de sorte que

\cos(\pi-(\alpha+\beta))=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos\gamma

et l’affaire est conclue.

——————————
(*} Je n’aime pas trop ce nom car, en fait, le théorème de Pythagore et le théorème de Pythagore généralisé sont équivalents, ce qu’on voit facilement en notant que

a^2+b^2-2ab\cos\gamma=\left(a-b\cos\gamma\right)^2+\left(b\sin\gamma\right)^2

(**) Dans l’approche suivie, on ne dispose pas de la méthode d’Euclide, très simple, qui consiste à mener par C une parallèle à AB. Cette parallèle fait un angle de mesure \alpha avec AC et un angle de mesure \beta avec BC. Les trois angles de sommets C ainsi obtenus remplissent un angle plat. Leur somme vaut donc bien \pi.

(***) A cet égard l’approche de John Roe, présentée au chapitre 9 (dans l’édition de 1993) de son excellent livre Elementary Geometry paru aux Oxford University Press, est fort intéressante.

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