Les hélices circulaires et une sympathique exponentielle I

La courbure et la torsion permettent de classifier les courbes suffisamment régulières(*) de \mathbf R^3.

On peut d’abord montrer que ces courbes sont caractérisées à déplacements près par leur courbure et leur torsion. Par exemple, les hélices circulaires sont les seules dont ces deux attributs soient constants.

Ensuite, on sait prouver, à l’aide des équations de Frenet, qu’étant donné un intervalle ouvert I et des fonctions \kappa,\tau:I\to\mathbf R, où \kappa est à valeurs strictement positives, il existe une courbe définie sur I dont \kappa soit la courbure et \tau la torsion.

Lorsque \kappa et \tau sont constants, les équations de Frenet forment un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ses solutions, qui donnent les hélices circulaires, sont donc décrites à l’aide d’une exponentielle matricielle.

Il s’avère qu’il est facile de calculer cette exponentielle et d’ainsi illustrer le théorème de classification par un bel exemple. C’est ce que je me propose de faire, au long de quelques billets dans lesquels je présenterai le trièdre et les équations de Frenet des hélices circulaires avant de parler de l’exponentielle en question.

Le reste du présent billet est une petite incursion dans le monde des groupes de Lie. Je vais y présenter une fort jolie interprétation des équations de Frenet. Ce qui suit est donc relativement abstrait et utilise un peu de géométrie différentielle. Mais ces considérations n’étant pas utilisées par la suite — sauf celles relatives aux équations de Frenet sur lesquelles je reviendrai plus loin, le lecteur qu’elles pourraient rebuter peut sans problème sauter ce passage.

Comme on va le voir, les équations de Frenet appartiennent à une famille intéressante d’équations différentielles posées sur les groupes de Lie, équations parmi lesquelles ont trouve aussi les systèmes d’équations différentielles linéaires.

Voici l’énoncé clé concernant cette famille d’équation(**).

(1) Soit un intervalle ouvert I et une fonction \mathbf h de I dans l’algèbre de Lie \mathfrak g d’un groupe de Lie G. Pour tout s\in I et tout a\in G, la solution maximale de l’équation différentielle

x'=x\mathbf h

qui passe par a en t=s est définie dans I tout entier. De plus, si (J,x) est une solution de cette équation et si b\in G, alors bx:t\in J\mapsto bx(t)\in G en est encore une solution. En conséquence si (J_1,x_1) et (J_2,x_2) sont des solutions de cette équation, alors l’application t\in J_1\cap J_2\mapsto x^{-1}_2(t)x_1(t)\in G est constante.

La preuve de cette propriété est assez simple et classique. Cependant, je ne la détaillerai pas ici. Voici quelques cas particuliers intéressants.

  • Si G est le groupe GL(n,\mathbf R) des matrices carrées de dimension n non singulières, alors \mathfrak g est l’algèbre de Lie gl(n,\mathbf R) des matrices carrées de dimension n et l’application linéaire tangente de la multiplication à gauche par une matrice est encore la multiplication à gauche par cette matrice. Ainsi, dans le cas du groupe GL(n,\mathbf R), les équations différentielles dont il est question dans l’énoncé ne sont autres que les systèmes de n équations différentielles linéaires à n inconnues.
  • Si \mathbf h est constant, alors l’équation x'=x\mathbf h est celle du flot du champ de vecteur invariant à gauche de G engendré par \mathbf h. On retrouve ainsi le fait que ce champ est complet. Son flot est l’application

    (t,g)\in \mathbf R\times G\mapsto g\exp_G(t\mathbf h)\in G

    \exp_G est l’application exponentielle de G.

  • Dans le cas où G=GL(n,\mathbf R), \exp_G est l’exponentielle matricielle. Elle associe à une matrice M\in gl(n,\mathbf R) la matrice

    e^M=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}M^k

    La fonction t\in\mathbf R\mapsto e^{tM}\in GL(n,\mathbf R) est alors la solution maximale de l’équation x'=xM pour laquelle x(0) est la matrice unité, I_n.

Voyons à présent comment la proposition (1) s’applique aux équations de Frenet. Celles-ci s’écrivent

\begin{cases}\mathbf t'=\kappa\mathbf n\\ \mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b\\\mathbf b'=-\tau\mathbf n\end{cases}

\mathbf t,\mathbf n et \mathbf b sont la tangente unitaire, la normale principale et la binormale d’une courbe régulière (I,\gamma) de \mathbf R^3 paramétrée par une abscisse curviligne. Les fonctions \kappa et \tau sont la courbure, supposée sans zéros, et la torsion de cette courbe.

En fait, \mathbf t=\gamma' et la première équation de Frenet condense, en quelque sorte, les définitions de \kappa=\|\mathbf t'\| et de \mathbf n=\mathbf t'/\|\mathbf t'\|. La binormale est alors simplement le produit vectoriel \mathbf t\wedge \mathbf n.

Comme \mathbf t,\mathbf n et \mathbf b forment, dans cet ordre, une base orthonormée positive, en les disposant en colonnes, nous obtenons une fonction F:u\in I\mapsto (\mathbf t(u),\mathbf n(u),\mathbf b(u)) dont les valeurs sont des matrices orthogonales et de déterminant positif, c’est-à-dire des éléments du groupe de Lie SO(3). Avec la courbure et la torsion, nous obtenons une fonction à valeurs dans l’espace des matrices antisymétriques, qui est l’algèbre de Lie so(3) de SO(3), à savoir

H:u\in I\mapsto \begin{pmatrix}0&-\kappa(u)&0\\\kappa(u)&0&-\tau(u)\\0&\tau(u)&0\end{pmatrix}\in so(3)

Avec F et H, les équations de Frenet s’écrivent F'=FH : elles sont donc de celles dont il est question dans la proposition (1) lorsqu’on y prend pour G le groupe des rotations SO(3)!

Forts de cette observation, nous pouvons vérifier très simplement ce qui est annoncé plus haut, à savoir qu’il existe une courbe (I,\gamma) rapportée à une abscisse curviligne dont on prescrit la courbure \kappa, supposée sans zéros, et la torsion \tau et que cette courbe est déterminée à un déplacement près.

En effet, d’après (1), ces fonctions étant données, les solutions maximales de l’équation F'=FH dont on impose une condition initiale dans SO(3) sont définies sur I et prennent toutes leurs valeurs dans SO(3). Soit F_0=(\mathbf t_0,\mathbf n_0,\mathbf b_0) l’une d’elles. Les primitives de \mathbf t_0 vérifient les équations de Frenet de sorte que ce sont des paramétrages de courbes dont la courbure est \kappa et la torsion est \tau. Ces primitives diffèrent d’un vecteur constant et, vu (1) de nouveau, toute solution de l’équation F'=FH est de la forme AF_0, où A\in SO(3), ce qui prouve notre affirmation.

__________
(*) Je parle ici des courbes dont le vecteur tangent est unitaire et dont la courbure est sans zéro. Ce n’est pas une hypothèse optimale mais, dans ce billet et les deux suivants, les courbes et les fonctions seront de plus supposées de classe C^\infty.

(**) Je note multiplicativement l’application linéaire tangente de la multiplication à gauche L_g:g'\mapsto gg' par g\in G : pour tout vecteur tangent \mathbf u de G, L_{g*}\mathbf u est noté g\mathbf u.

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