Les hélices circulaires et une sympathique exponentielle II – Les hélices circulaires

Imaginons nous enrouler une feuille de papier sur un cylindre circulaire droit comme suggéré sur ce dessin :

helice_circulaire_2

Un segment de droite tracé sur la feuille dessine alors une courbe sur le cylindre. C’est un morceau d’hélice circulaire dont voici un exemple :

helice_circulaire

Nous allons paramétrer une hélice circulaire(*) de \mathbf R^3 au moyen d’une abscisse curviligne. Nous noterons u celle-ci. Pour cela, on lui fait subir, ainsi qu’au cylindre sur laquelle elle est tracée, un déplacement amenant l’axe du cylindre sur l’axe des z et donnant les coordonnées (r,0,0) au point à partir duquel on mesure l’abscisse curviligne, P_0 (r>0 désigne le rayon du cylindre). L’hélice circulaire admet alors un paramétrage de la forme

\varphi: u\in \mathbf R\mapsto \left(r\cos\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},r\sin\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},\frac{hu}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)\in\mathbf R^3

Voici les explications. Le plan de coordonnées x, y coupe le cylindre selon un cercle, de rayon r, représenté à gauche dans la figure ci-dessous. Il est paramétré par un angle, noté t, mesuré à partir de P_0 dans le sens trigonométrique (sur le dessin, t est positif).

helice_calcul

L’hypoténuse du triangle rectangle situé à droite du cercle sur la figure, dessinée en rouge, est le segment de droite obtenu en déroulant l’hélice sur le plan tangent au cylindre en P_0 en faisant rouler celui-ci « sans glisser » perpendiculairement à la génératrice de P_0 selon l’angle t. Sa longueur est u, à condition que nous orientions l’hélice dans le sens des t croissants, ce que nous conviendrons de faire. Le côté « horizontal » du triangle est de longueur rt : c’est celle de l’arc sous-tendu par l’angle au centre t du cercle. La longueur de l’autre côté est également proportionnelle à t et nous notons |h| le coefficient de proportionnalité. Le nombre h mesure ce dont l’hélice « monte », ou « descend », selon son signe, lorsque t varie d’un radian (il est positif sur le dessins). Le théorème de Pythagore donne u^2=r^2+h^2 de sorte que

t=\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}}

car, vu notre choix d’orientation de l’hélice, u et t ont le même signe.

Le point P de l’hélice correspondant à t est donc bien \varphi(u).

La dérivée

\left(-\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}\sin\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}\cos\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)

de \varphi(u) est de longueur 1. C’est le vecteur tangent unitaire \mathbf t de l’hélice associé à l’orientation choisie. Par définition, la courbure \kappa de l’hélice est la longueur de la dérivée

\frac{r}{r^2+h^2} \left(-\cos\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},-\sin\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},0\right)

de \mathbf t et sa normale principale est, sous réserve que \kappa ne soit pas nul, \mathbf n=\mathbf t'/\kappa. Ainsi,

\kappa=\frac{r}{r^2+h^2}

et

\mathbf n=\left(-\cos\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},-\sin\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},0\right)

Par définition, de nouveau, la binormale est le produit vectoriel \mathbf b=\mathbf t\wedge\mathbf n et la troisième équation de Frenet — nous reparlerons très bientôt de ces équations — permet de calculer la torsion \mathbf \tau de l’hélice : \mathbf b'=-\tau\mathbf n. Je ne détaille pas le calcul, fort simple du reste, qui nous donne ainsi

\mathbf b=\left(\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\sin\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},-\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\cos\frac{u}{\sqrt{r^2+h^2}},\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)

puis

\tau=\frac{h}{r^2+h^2}

La tangente unitaire, la normale et la binormale de l’hélice constituent ce qu’on appelle le trièdre de Frenet de l’hélice et vérifient, comme c’est le cas de toute courbe pour lequel ce trièdre est défini, les équations de Frenet

\begin{cases}\mathbf t'=\kappa\mathbf n\\\mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b\\\mathbf b'=-\tau\mathbf n\end{cases}

Pour une hélice circulaire, la courbure et la torsion sont constantes et les équations de Frenet forment un systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Il est particulièrement simple à résoudre et nous verrons en le résolvant explicitement dans un prochain billet, que les hélices circulaires sont les seules courbes dont la courbure (supposée non nulle) et la torsion sont constantes, conformément au théorème de classification mentionné au début du billet précédent.

__________
(*) Complète, c’est-à-dire qui se déroule sur une droite entière lorsqu’on fait rouler le cylindre sur un de ses plans tangents.

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