Les hélices circulaires et une sympathique exponentielle III – L’exponentielle

Dans ce billet qui est la suite du précédent dont nous conservons les notations, nous allons résoudre les équations de Frenet lorsque la courbure et la torsion sont constantes. Ainsi, nous nous donnons des nombres \kappa >0 et \tau et nous cherchons les fonctions \mathbf t,\mathbf n,\mathbf b : I \to \mathbf R^3 telles que

(1) \begin{cases}\mathbf t'=\kappa\mathbf n\\\mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b\\\mathbf b'=-\tau\mathbf n\end{cases}

et telles que, pour tout u\in I, (\mathbf t(u),  \mathbf n(u),\mathbf b(u)) soit une base orthonormée positive de \mathbf R^3, ce qui revient à dire que la matrice dont les colonnes sont \mathbf t(u),  \mathbf n(u),\mathbf b(u), dans cet ordre, est orthogonale et de déterminant positif.

Nous nous limiterons à déterminer les solutions maximales, c’est-à-dire celles dont l’intervalle de définition est le plus grand possible. Leurs restrictions à des intervalles plus petits fournissent toutes les autres.

Posons

F=\begin{pmatrix}t_1&n_1&b_1\\t_2&n_2&b_2\\t_3&n_3&b_3\\\end{pmatrix}

où les t_i,\ldots sont les composantes de \mathbf t,\ldots et

H=\begin{pmatrix}0&-\kappa&0\\\kappa&0&-\tau\\0&\tau&0\end{pmatrix}

Le système (1) se réécrit alors sous la forme matricielle

(2) F'=FH

Voici quelques remarques.

  • Cette équation admet une solution maximale passant par la matrice identité en u=0. Elle est définie dans \mathbf R et s’exprime au moyen de l’exponentielle matricielle. C’est la fonction

    F_0:u \mapsto e^{uH}

  • Les valeurs de F_0 sont des matrices orthogonales de déterminant positif. En effet, comme H est antisymétrique, on a

    ^t\left(e^{uH}\right)=e^{u (^tH)}=e^{-uH}=\left(e^{uH}\right)^{-1}

    et

    \det e^{uH}=e^{u\mathrm{tr\ }H}=1

    puisque la trace de H est nulle.

  • Soient une solution F de (2), définie dans un intervalle I\subset \mathbf R, u_0\in I et A_0=F(u_0). Clairement, A_0e^{-u_0H}F_0 est une solution de (2). Elle est définie dans \mathbf R et sa valeur en u_0 est A_0. Elle coïncide par conséquent avec F dans I. Ainsi, les solutions maximales que nous cherchons sont les fonctions AF_0A décrit l’ensemble des matrices orthogonales de déterminant positif et de dimension trois.

Nous voici donc à pied d’œuvre : nous devons calculer F_0.

Calcul de l’exponentielle d’une matrice antisymétrique de dimension trois

Nous allons calculer l’exponentielle e^M d’une matrice antisymétrique quelconque

M=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}

de dimension trois (réelle). Il y a pour cela plusieurs stratégies parmi lesquelles : diagonaliser la matrice, utiliser une équation différentielle, utiliser une équation de récurrence.

Compte tenu du contexte, nous allons utiliser la seconde méthode qui exploite le fait que la fonction définie sur \mathbf R par u \mapsto e^{uM} est l’unique solution maximale de l’équation X'=XM dont la valeur en zéro est la matrice unité (que nous noterons I).

Nous allons ramener cette équation à une équation différentielle scalaire, linéaire et à coefficients constants en profitant du fait que(*)

(3) M^3+(a^2+b^2+c^2)M=0

Nous cherchons notre fonction sous la forme

e^{uM}=\alpha(u)M^2+\beta(u)M+\gamma(u)I

\alpha,\beta et \gamma sont des fonctions à valeurs réelles. En injectant ceci dans l’équation X'=XM, en utilisant (3) puis en identifiant les coefficients des puissances de M, nous obtenons les équations, où \ell=\sqrt{a^2+b^2+c^2},

\begin{cases}\alpha'=\beta\\\beta'=-\ell^2\alpha+\gamma\\\gamma'=0\end{cases}

assorties des conditions initiales

\alpha(0)=0,\ \beta(0)=0,\ \gamma(0)=1

La fonction \gamma est constante et vaut 1. Quant à \alpha, il vérifie

\alpha''+\ell^2\alpha=1,\ \alpha(0)=\alpha'(0)=0

une équation très facile à résoudre. Après de petits calculs, on trouve alors, si \ell n’est pas nul,

e^{uM}=\frac{1}{\ell^2}[1-\cos(\ell u)]M^2+\frac{1}{\ell}\sin(\ell u)M+I

En particulier,

e^M=\frac{1}{\ell^2}[1-\cos(\ell)]M^2+\frac{1}{\ell}\sin(\ell)M+I

Si \ell est nul, alors M l’est aussi et e^{uM}=I. On peut alors considérer que les deux formules précédentes sont correctes dans ce cas, dans la mesure où

\begin{cases}\lim_{\ell\to 0}\frac{1}{\ell^2}[1-\cos(\ell u)]=\frac 1  2 u^2\\[1ex]\lim_{\ell\to 0}\frac{1}{\ell}\sin(\ell u)=u\end{cases}

Retour aux hélices circulaires

Revenons-en au système (2). En appliquant ce qui précède à H, pour lequel \ell=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}>0, on voit que la première colonne de F_0=e^{uH} est

\mathbf t_0=\begin{pmatrix}\frac{\kappa^2}{\ell^2}\cos(\ell u)+\frac{\tau^2}{\ell^2}\\[1ex]\frac{\kappa}{\ell}\sin(\ell u)\\[1ex]-\frac{\kappa\tau}{\ell^2}\cos(\ell u)+\frac{\kappa\tau}{\ell^2}\end{pmatrix}

dont les primitives sont les applications \gamma_0 données par

\gamma_0(u)=\begin{pmatrix}\frac{\kappa^2}{\ell^3}\sin(\ell u)+\frac{\tau^2}{\ell^2}u\\[1ex]-\frac{\kappa}{\ell^2}\cos(\ell u)\\[1ex]-\frac{\kappa\tau}{\ell^3}\sin(\ell u)+\frac{\kappa\tau}{\ell^2}u\end{pmatrix}+\mathbf a

\mathbf a décrit \mathbf R^3.

Provenant d’une solution des équations (1), chaque application \gamma_0:\mathbf R\to\mathbf R^3 est un paramétrage d’une courbe \Gamma_0 dont la courbure est \kappa et la torsion \tau et, vu la dernière remarque que nous avons faite plus haut à propos de l’équation (2), toute courbe ayant ces courbure et torsion s’obtient en appliquant un déplacement à \Gamma_0.

Il existe une matrice orthogonale de déterminant positif A telle que

\forall u\in\mathbf R,\quad \gamma_0(u)=A\varphi(u)+\mathbf a

\varphi est le paramétrage d’une hélice circulaire présenté dans le billet précédent. Pour le voir, exprimons d’abord \varphi à l’aide de \kappa et \tau. Les relations

\kappa=\frac{r}{r^2+h^2} \quad \& \quad \tau=\frac{h}{r^2+h^2}

s’inversent en

r=\frac{\kappa}{\kappa^2+\tau^2}=\frac{\kappa}{\ell^2} \quad \& \quad h=\frac{\tau}{\kappa^2+\tau^2}=\frac{\tau}{\ell^2}

En reportant ceci dans l’expression de \varphi donnée au billet précédent, il vient

\varphi(u)=\left(\frac{\kappa}{\ell^2}\cos(\ell u),\frac{\kappa}{\ell^2}\sin(\ell u),\frac{\tau}{\ell}u\right)

Par conséquent, comme on le voit immédiatement, la matrice orthogonale de déterminant positif

\begin{pmatrix}0&\frac{\kappa}{\ell}&\frac{\tau}{\ell}\\[1ex]-1&0&0\\[1ex]0&-\frac{\tau}{\ell}&\frac{\kappa}{\ell}\end{pmatrix}

est la matrice cherchée A.

J’avais promis, dans le premier billet de cette série de trois articles, de vérifier le théorème de classification des courbes dans le cas particulier où la courbure et la torsion sont constantes et cela en résolvant explicitement les équations de Frenet. Voilà qui est fait!😉

__________
(*) Toute matrice annule un polynôme ne serait-ce que son polynôme caractéristique et la méthode que j’utilise ici est applicable à n’importe quelle matrice; elle permet aussi de calculer par récurrence les puissances d’une matrice.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s