Une remarque sur une forme de linéarité faible

Dans le billet précédent, nous avons rencontré l’équation fonctionnelle suivante(*)

\forall \lambda,\mu\in\mathbf R,\quad P(\lambda+\mu,\lambda)+P(\lambda,\lambda-\mu)=P(\lambda+\mu,\lambda-\mu)

Toutes les fonctions P de la forme \partial Q:(x,y)\in\mathbf R^2\mapsto Q(x)-Q(y)\in\mathbf R, où Q est une application de \mathbf R dans lui-même, en sont des solutions — c’est immédiat — et nous avons montré que ses solutions polynômiales sont les applications \partial QQ est un polynôme quelconque, ce qui l’est moins.

Les fonctions \partial Q sont exactement les solutions de l’équation fonctionnelle

\forall a,b,c\in\mathbf R,\quad P(c,b)+P(b,a)=P(c,a)

qui se réduit à la précédente lorsqu’on impose à a,b,c d’être en progression arithmétique.

Afin de différencier les deux équations, j’ai cherché, sous une forme très particulière, des solutions de la première qui n’en soient pas de la seconde. Ce faisant, je suis tombé sur un amusant petit problème auquel est consacré le présent billet.

Clairement, pour qu’une fonction P de la forme (x,y)\mapsto f(x-y) soit solution de la première équation, il est nécessaire, et suffisant, que

\forall x\in\mathbf R,\quad f(2x)=2f(x)

et le petit problème en question consiste plus généralement, étant donné un nombre \xi, à déterminer les f tel que(**)

(1) \forall x\in\mathbf R,\quad f(\xi x)=\xi f(x)

Naturellement, nous supposerons que \xi\neq 1, ce qui implique en particulier que f(0)=0. Avec \xi=-1, nous obtenons les fonctions impaires tandis que pour \xi=0, la condition se réduit f(0)=0. Nous ne reviendrons pas sur ces deux cas ultérieurement. Voici alors ce qu’on obtient (j’insiste : pour \xi\notin\{-1,0,1\}).

Cas \xi>0

La fonction f vérifie (1) si, et seulement si, elle est de la forme

x\mapsto \begin{cases}xg_+(\log_\xi x)&\mbox{si\ }x>0\\[1ex]0&\mbox{si\ }x=0\\[1ex]xg_-(\log_\xi |x|)&\mbox{si\ }x<0\end{cases}

g_{\pm} sont des fonctions de \mathbf R dans lui-même telles que g_{\pm}(u+1)=g_{\pm}(u) pour tout u\in\mathbf R.

Il est clair en effet que les fonctions de la forme indiquée vérifient (1). Pour la réciproque, le lecteur montrera facilement que

g_+:u\mapsto\frac{f(\xi^u)}{\xi^u} \mbox{\ et\ } g_-:u\mapsto-\frac{f(-\xi^u)}{\xi^u}

répondent à la question.

Cas \xi<0

La fonction f vérifie (1) si, et seulement si, elle est de la forme

x\mapsto \begin{cases}xg(\log_{\xi^2}x)&\mbox{si\ }x>0\\[1ex]0&\mbox{si\ }x=0\\[1ex]xg(\frac{1}{2}+\log_{\xi^2}|x|)&\mbox{si\ }x<0\end{cases}

g est une fonction de \mathbf R dans lui-même telle que g(u+1)=g(u) pour tout u\in\mathbf R.

Notez que \log_{\xi^2}x=\frac 1 2 \log_{|\xi|}x. Cela rend à peu près triviales les vérifications qui suivent.

En premier lieu, on constate aisément, grâce à cette observation, que si f a la forme indiquée, il vérifie (1).
Inversement, si f vérifie (1), alors

\forall x\in\mathbf R,\quad f(\xi^2x)=\xi^2f(x)

Comme \xi^2>0 (et \xi^2\neq 1), vu le cas précédent, il existe des fonctions g_{\pm} telles que

f:x\mapsto \begin{cases}xg_+(\log_{\xi^2} x)&\mbox{si\ }x>0\\[1ex]0&\mbox{si\ }x=0\\[1ex]xg_-(\log_{\xi^2}|x|)&\mbox{si\ }x<0\end{cases}

et g_{\pm}(u+1)=g_{\pm}(u) pour tout u\in\mathbf R.

On constate alors que (1) est satisfait par f si, et seulement si, g_-(\cdot)=g_+(\frac 1 2 +\cdot) ce qui conclut la preuve.

Voici deux conséquences de ce que nous venons de constater.

a) Si f vérifie (1) pour un \xi\notin\{-1,0,1\} et est dérivable en 0, alors il est linéaire.

En particulier, si f donne une solution de la première équation fonctionnelle dont nous avons parlé et est dérivable en 0, alors celle-ci est une solution de la seconde.

La propriété annoncée résulte de ceci (je suppose \xi>0 le cas \xi < 0 se traitant de façon similaire). Si f'(0) est un nombre réel alors il vaut

\lim_{\stackrel{h \to 0}{h>0}}\frac{f(h)}{h}=\begin{cases}\lim_{u\to-\infty}g_+(u)&\mbox{si\ }\xi>1\\\lim_{u\to+\infty}g_+(u)&\mbox{si\ }\xi<1\end{cases}

Par conséquent, vu que g_+(u+1)=g_+(u) pour tout u, g_+ est constant et vaut f'(0). On démontre de même que g_- le vaut aussi, ce qui prouve la propriété!

b) Les solutions de la première équation fonctionnelle ne sont pas toutes des solutions de la seconde.

En effet, avec

f:x\mapsto \begin{cases}x\sin(2\pi\log_2 x)&\mbox{si\ }x>0\\[1ex]0&\mbox{si\ }x=0\\[1ex]x\sin(2\pi\log_2 |x|)&\mbox{si\ }x<0\end{cases}

on obtient une solution de la première équation fonctionnelle, (x,y)\mapsto f(x-y), dont il est facile de voir qu’elle n’est pas de la forme \partial Q.

On notera que f n’est pas dérivable en 0 et, pour l’instant, je ne sais pas si on sait différencier les deux équations au moyen d’une solution P de la première qui soit partout dérivable.

😉

––––––––––
(*) Où P est une fonction de \mathbf R^2 dans \mathbf R.
(**) C'est cette condition qui m'a suggéré le titre de cet article, titre dont je ne suis pas complètement satisfait cela dit.

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