A propos des empilements infinis de radicaux I

Je vais à présent consacrer quelques billets aux empilements infinis de radicaux

\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2+b_2\sqrt{\cdots}}}}

La première question est de voir comment une telle expression est définie d’un point de vue syntaxique, ce qui sera assez vite fait. La seconde question nous occupera significativement plus longtemps. Elle consiste à voir comment on peut lui attribuer une valeur lorsque a et b sont des suites numériques.

A l’origine des considérations qui vont suivre se trouve une discussion sur un forum consacré aux mathématiques dans laquelle on demandait de prouver, à titre d’exercice divertissant, l’égalité

(1) 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}}

On affirmait que celle-ci, repérée dans une page web, possède une démonstration directe très courte, réputée géniale.

Un intervenant a, cela dit, produit en guise de preuve une fort belle observation qui a convaincu tout un temps la plupart des participants. Il remarque que la suite

3,\sqrt{1+2\times 4},\sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}},\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}},\ldots

est constante. Le n-ième terme de cette suite,

(2) \sqrt{1+2\sqrt{\cdots\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}

s’obtient en remplaçant, dans l’expression à calculer, le n-ième radical interne par n+3, et l’observation repose sur l’identité

1+(n+1)(n+3)=(n+2)^2

L’idée de la preuve, implicite dans la discussion, est donc que (2) fournit une approximation d’autant meilleure de l’empilement de radicaux considéré que n est grand, puisqu’à mesure que n augmente, l’expression (2) ressemble de plus en plus à l’empilement du membre de droite de (1), l’anomalie s’enfuyant vers la droite sous des radicaux de plus en plus nombreux. Ce dernier vaudrait donc 3.

Je n’était qu’à moitié convaincu et, avec le recul, je comprends bien l’origine de ma circonspection. Il est vrai, d’un côté, que (2), comme suite de caractères, converge au sens de la théorie des langages formels(*) vers ce qu’on imagine être le mot infini auquel les trois petits points « \cdots » du membre de droite de (1) nous incitent à penser. Mais d’un autre côté, il n’y a aucune raison pour que cette convergence syntaxique s’accompagne d’office d’une convergence numérique, d’autant que la valeur de l’empilement infini de radicaux suggérée par le membre de droite de (1) n’est, en fait, pas clairement définie par sa forme — et donc, ne l’est pas du tout, finalement.

Nous verrons qu’à défaut d’avoir prouvé (1), l’internaute a néanmoins mis le doigt sur une notion bien utile et que les empilements infinis de radicaux donnent lieu à de beaux phénomènes. Je vous convie à les partager avec moi au fil des quelques billets qui leurs sont consacrés.

Je n’ai dégoté, à vrai dire, que quelques propriétés des empilements infinis de radicaux et suspecte qu’il y en a bien davantage, dont je trouverai peut-être certaines plus tard. Elles feront alors l’objet de billets supplémentaires.

J’achève le présent article par la définition syntaxique, c’est-à-dire de la forme, et non de la valeur éventuelle, des empilements infinis de radicaux

\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2+b_2\sqrt{\cdots}}}}

Pour cela, il est commode, adoptant en cela une suggestion d’un des intervenants de la discussion évoquée plus haut, de représenter l’extraction de la racine carrée par le caractère \mathbf V. Ainsi, \sqrt{e} est éventuellement noté ci-dessous (mais au cours de ce billet seulement) \mathbf V e.

Etant données des suites a et b de mots sur un certain alphabet A (par exemple des nombres entiers, qui sont représentés, en base 10, par des suites de chiffres 0,1,\ldots, 9, l’alphabet est alors \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}), on définit, récursivement, e(a,b) qui est un mot sur un alphabet contenant A et des symboles mathématiques +,-,\ldots, par

e(a,b)=\mathbf Va_0+b_0e(\sigma(a),\sigma(b))

\sigma est le shift, comme on l’appelle en combinatoire des mots, à savoir l’application qui transforme une suite u en la suite décalée d’une unité :

\sigma(u) : n\mapsto u_{n+1}

En itérant la récursion, la définition permet de calculer une suite de mots de tailles strictement croissantes:

\mathbf Va_0+b_0,\quad \mathbf Va_0+b_0\mathbf Va_1+b_1,\quad \mathbf Va_0+b_0\mathbf Va_1+b_1\mathbf Va_2+b_2, \ldots

Chacun étant préfixe du précédent, cette suite possède un mot infini limite qui est l’expression e(a,b) que nous voulions définir.

Le n-ième mot de cette suite s’obtient en appliquant n fois la récursion et en remplaçant e(\sigma^n(a),\sigma^n(b)) par le mot vide \varepsilon dans le résultat. Plus tard, lorsque nous évaluerons e(a,b) pour des suites a,b numériques, nous utiliserons une autre suite de préfixes :

\mathbf Va_0,\quad \mathbf Va_0+b_0\mathbf Va_1,\quad \mathbf Va_0+b_0\mathbf Va_1+b_1\mathbf Va_2, \ldots

Elle s’obtient en ôtant +\ b_{n-1}(\sigma^n(a),\sigma^n(b)) du résultat de n itérations et converge tout autant vers e(a,b).

Un exemple très simple est celui où a=b et a_n=1 pour tout n. Dans ce cas, e(a,b) est la juxtaposition d’une infinité de copies du mot \mathbf V1\ +\ . Avec les notations de la combinatoire des mots, on a donc dans ce cas

e(a,b)=\mathbf V1\ +\ \mathbf V1\ +\ \mathbf V1\ +\ \mathbf V1\ +\ \cdots=(\mathbf V1\ +\ )^\omega

qui code ce que nous écririons plus naturellement

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots}}}}

Voilà pour ce billet! 😉

P.S. Aujourd’hui, un participant ayant pris part à la discussion mentionnée plus haut, et que je remercie vivement, m’a signalé ce site dans lequel il a trouvé des indications sur une démonstration de l’égalité (1) qu’il faut compléter par la solution du problème 15 (ii) présentée sur cette page pour en obtenir les détails. Les deux références sont intéressantes, particulièrement la première qui est également consacrée à des empilements infinis de radicaux, essentiellement ceux pour lesquels la suite b_n=1 pour tout n. Il parle de racines continues par analogie avec les fractions continues et montre que tout entier positif possède un développement en racine continue. Il y a quelques considérations sur les empilements infinis de radicaux plus généraux et notamment la preuve de (1) ainsi que je l’ai signalé mais ce qui est présenté dans ce site est bien différent de ce que je m’apprête à raconter dans les billets consacrés aux empilements infinis de radicaux. Aussi vais-je continuer leur rédaction. P.L. 12/10/2016
__________
(*) Syntaxiquement, pour faire simple. Sans entrer dans le détail, la notion de convergence en question est basée sur l’idée que deux mots sont d’autant plus proches qu’ils partagent un grand préfixe. Par exemple, la suite de mots

n\mapsto a^nb

(a^n représente le mot constitué de n lettres a) converge à ce sens vers le mot infini dont toutes les lettres sont égales à a.

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