A propos des empilements infinis de radicaux II

Nous allons à présent discuter des valeurs que l’on peut éventuellement attribuer, dans le cas de suites a et b numériques, aux expressions e(a,b) introduites dans le billet précédent.

L’idée qui va nous guider est de définir les approximations

e(a^{(n)},b^{(n)})

a^{(n)},b^{(n)} sont les préfixes de longueur n des suites a et b et de poser

e(a,b)=\lim_{n\to\infty}e(a^{(n)},b^{(n)})

pour autant que cette limite existe.

Les e(a^{(n)},b^{(n)}) sont des empilements finis de radicaux. Leurs valeurs s’obtiennent simplement en effectuant les opérations qu’ils décrivent en respectant les priorités de celles-ci dans l’ordre des évaluations.

Ceci pose quelques problèmes dont nous allons à présent parler.

Il nous faut d’abord étendre la définition récursive des empilements infinis de radicaux aux suites finies de même longueur. Dans ce but, il faut aussi étendre le shift \sigma aux suites finies, ce qui me semble très simple. Si \alpha est une suite de longueur \ell, alors \sigma(\alpha) est la suite de longueur \ell-1 obtenue en supprimant \alpha_0(*) :

\sigma((\alpha_0,\ldots,\alpha_{\ell-1}))=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{\ell-1})

Dès lors, si on applique \ell fois \sigma à \alpha, alors on obtient la suite vide \varepsilon. Par conséquent, en appliquant la définition récursive(**)

e(\alpha,\beta)=\sqrt{\alpha_0+\beta_0e(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))}

à deux suites de longueur \ell, la récursion s’arrête après \ell itérations car \sigma(\varepsilon) n’étant pas défini, on ne peut appliquer la récursion à e(\sigma^\ell(\alpha),\sigma^\ell(\beta))=e(\varepsilon,\varepsilon).

Pour parfaire notre définition de e(\alpha,\beta), il nous faut donc attribuer une valeur à e(\varepsilon,\varepsilon).

D’un point de vue purement syntaxique, le seul choix raisonnable me semble être de poser e(\varepsilon,\varepsilon)=\varepsilon. Avec ce choix, en appliquant la définition aux préfixes a^{(n)},b^{(n)} de longueur n de deux suites « infinies » a et b, on retrouve la première suite de préfixes de e(a,b) présentée vers la fin de l’article précédent.

Mais nous nous préoccupons d’attribuer une valeur numérique aux empilements de radicaux lorsque les suites dont ils se nourrissent sont à valeurs réelles et je ne vois pas de nombre qui s’impose absolument comme valeur susceptible d’être attribuée à e(\varepsilon,\varepsilon). On pourrait penser à 0 mais on pourrait tout aussi bien plaider en faveur de 1 ou de tout autre nombre positif.

Dans le cas de suites finies, ayant choisi une valeur pour e(\varepsilon,\varepsilon), e(\alpha,\beta) peut être univoquement évalué, en respectant les priorités des opérations arithmétiques et sous réserve qu’aucun radical ne porte sur un nombre négatif.

Prenons par exemple e(\varepsilon,\varepsilon)=0. Alors pour \alpha=(2,2,2) et \beta=(1,1,1), il vient

e(\alpha,\beta)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\cos\frac{\pi}{16}

et, plus généralement,

e(\underbrace{(2,\ldots,2)}_n,\underbrace{(1,\ldots,1)}_n)=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}}_{n \mbox{\ chiffres\ } 2}=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}

comme on le voit facilement par récurrence sur n>0.

Cela étant, obervons que le choix e(\varepsilon,\varepsilon)=0 correspond, au niveau syntaxique, à la seconde suite de préfixes présentée à la fin de l’article précédent comme le suggèrent ces premières formules :

\begin{array}{rcl}e((\alpha_0),(\beta_0))&=&\sqrt{\alpha_0}\\[1ex]e((\alpha_0,\alpha_1),(\beta_0,\beta_1))&=&\sqrt{\alpha_0+\beta_0\sqrt{\alpha_1}}\\[1ex]e((\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2),(\beta_0,\beta_1,\beta_2))&=&\sqrt{\alpha_0+\beta_0\sqrt{\alpha_1+\beta_1\sqrt{\alpha_2}}}\\[1ex]&\vdots&\end{array}

tandis que le choix e(\varepsilon,\varepsilon)=1 correspond à la première suite :

\begin{array}{rcl}e((\alpha_0),(\beta_0))&=&\sqrt{\alpha_0+\beta_0}\\[1ex]e((\alpha_0,\alpha_1),(\beta_0,\beta_1))&=&\sqrt{\alpha_0+\beta_0\sqrt{\alpha_1+\beta_1}}\\[1ex]e((\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2),(\beta_0,\beta_1,\beta_2))&=&\sqrt{\alpha_0+\beta_0\sqrt{\alpha_1+\beta_1\sqrt{\alpha_2+\beta_2}}}\\[1ex]&\vdots&\end{array}

Ce sont les mêmes préfixes que ceux correspondant au choix naturel e(\varepsilon,\varepsilon)=\varepsilon adopté plus haut pour la définition syntaxique des formules e(\alpha,\beta), ce qui inciterait peut être à poser e(\varepsilon,\varepsilon)=1 (sans contradiction, la suite vide de nombres réels n’est pas le mot vide sur un alphabet que nous notons cependant de la même façon).

D’un autre côté, il y a une forte analogie entre les empilements infinis de radicaux et les fractions continues (généralisées)(***)

a_0+\cfrac{b_0}{a_1+\cfrac{b_1}{a_2+\cfrac{b_2}{a_3+\cfrac{b_3}{\cdots}}}}

qui sont les limites des réduites

a_0, \quad a_0+\cfrac{b_0}{a_1}, \quad a_0+\cfrac{b_0}{a_1+\cfrac{b_1}{a_2}}, \quad a_0+\cfrac{b_0}{a_1+\cfrac{b_1}{a_2+\cfrac{b_2}{a_3}}}, \ldots

Manifestement, pour les fractions continues, c’est l’équivalent de l’option e(\varepsilon,\varepsilon)=0 qui a été retenue, ce qui pourrait être une raison d’adopter celle-ci dans la définition des approximations des empilements infinis de radicaux.

En dépit des observations précédentes, je décide de poser e(\varepsilon,\varepsilon)=0; il faudra attendre le prochain billet de cette suite d’articles pour comprendre pourquoi.

Cela étant pour prendre en considération le phénomène mentionné dans le billet précédent à propos de l’empilement infini

\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}}

à savoir l’existence d’une suite d’approximations

\sqrt{1+2\times 4}, \quad \sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}}, \quad \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}},\ldots

qui converge, au niveau de la syntaxe, vers l’empilement infini mais dont les valeurs sont toutes égales, il nous faut aller plus loin. En tout cas, on ne peut obtenir cette suite en attribuant une fois pour toutes une valeur numérique à e(\varepsilon,\varepsilon) pour calculer les nombres e(a^{(n)},b^{(n)}). Au contraire, il faut choisir une valeur de e(\varepsilon,\varepsilon) différente pour chaque approximation, une valeur qui dépende de n. En l’occurrence, c’est en posant e(\varepsilon,\varepsilon)=n+3 qu’on obtient la n-ième approximation. Ainsi, e(\varepsilon,\varepsilon) vaut 4 pour la première, 5 pour la seconde, etc.

Il peut paraître étrange, voire déconcertant, de faire varier e(\varepsilon,\varepsilon) qui, jusqu’ici, avait tout d’une constante. Cette contradiction peut être levée moyennant un changement de point de vue dont toute l’utilité se révèlera dans le prochain billet.

Le nouveau point de vue consiste à considérer que e(a,b) est une fonction dont le domaine est un certain ensemble de suites et dont les valeurs sont des nombres réels ou \infty(****).

Voyons de plus près de quoi il s’agit en précisant d’emblée que, pour me simplifier la vie, je ne considérerai plus, essentiellement, que des suites a et b dont les valeurs sont strictement positives.

Pour toute suite c:\mathbf N\to [0,+\infty[, je note u(c) la suite pour laquelle u_0(c)=c_0 et, pour n>0, u_n(c) est la valeur de e(a^{(n)},b^{(n)}) calculée en prenant e(\varepsilon,\varepsilon)=c_n. Les premières valeurs de u(c) sont donc

\begin{array}{rcl}u_0(c)&=&c_0\\[1ex]u_1(c)&=&\sqrt{a_0+b_0c_1}\\[1ex]u_2(c)&=&\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1c_2}}\\[1ex]u_3(c)&=&\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2+b_2c_3}}}\\[1ex]\vdots\end{array}

Je désigne alors par \mathscr{D}_{a,b} l’ensemble des suites c:\mathbf N\to [0,+\infty[ telles que u(c) converge vers un nombre réel ou vers \infty et je définis la fonction e_{a,b} en posant

e_{a,b}: c\in\mathscr{D}_{a,b}\mapsto \lim_{n\to \infty}u_n(c)\in [0,+\infty[\cup\{\infty\}

On observe en particulier que si u(\mathbf 0) converge vers un nombre réel, où \mathbf 0 est la suite dont toutes les valeurs sont nulles, alors e_{a,b}(\mathbf 0) est la valeur que nous avons décidé d’attribuer à l’empilement e(a,b) en faisant le choix de poser e(\varepsilon,\varepsilon)=0.

C’est ici que s’achève ce long billet!😉

__________
(*) Sauf cas explicitement mentionnés, je numérote les suites à partir de 0. Ce sont donc des fonctions sur \mathbf N. De plus, j’utilise des lettres grecques pour désigner des suites finies.

(**) Par rapport au billet précédent, je reviens aux notations classiques.

(***) Les fractions continues classiques sont celles pour lesquelles les b_n valent tous 1.

(****) Pour alléger les notations, j’utiliserai régulièrement \infty à la place de +\infty.

3 réflexions sur “A propos des empilements infinis de radicaux II

  1. Bonjour.

    Merci pour ces billets très, très intéressants !

    Dans le 1er billet, le seul vrai problème est la définition des points de suspension qui comme vous l’avez indiqué est le point à préciser, et non à deviner.

    Ceci étant, pour rendre plus « forts » vos billets, il serait bon de montrer un cas problématique, si tant est qu’il en existe, où suivant la façon d’interpréter les points de suspension on obtient des suites de radicaux aux comportements différents. En connaissez-vous un ?

    • Merci pour votre commentaire et votre question. Oui, je connais des cas problématiques, et même beaucoup. Le troisième billet de la série, que je suis en train de rédiger répondra bien, je crois, à votre question mais je peux vous donner ici un exemple. Il s’agit de l’empilement

      e=\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{\cdots}}}

      L’équation t^2-3t+1=0 possède deux racines strictement positives \gamma_i et si on évalue e en posant e(\varepsilon,\varepsilon)=\gamma_i il prend la valeur \gamma_i!

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