A propos des empilements infinis de radicaux IV

Je vais compléter les trois billets précédents en établissant que, pour des suites a et b à valeurs strictement positives, on a

(1) \boxed{\mathrm{im\ } e_{a,b}=[\lim u(\mathbf 0),\infty]}

ce qui est une façon de résumer l’alternative suivante : soit \lim u(\mathbf 0)=\infty et \mathrm{im\ } e_{a,b}=\{\infty\}, soit \lim u(\mathbf 0)=\gamma_0\in\mathbf R et \mathrm{im\ } e_{a,b}=[\gamma_0,\infty]. Dans le premier cas, pour toute suite c\in\mathscr D_{a,b}, u(c) tend vers \infty. Dans le second, il y a des suites c\in\mathscr D_{a,b} pour lesquelles u(c) tend vers \infty mais, pour chaque nombre réel \gamma\geqslant \gamma_0, il y en a aussi pour lesquelles u(c) tend vers \gamma. J’ajoute que les deux cas se présentent.

Pour établir cela, nous allons utiliser une propriété supplémentaire des fonctions \xi _n :

(2) \boxed{\lim_{x\to\infty}\xi_n(x)=\infty}

Nous allons montrer cela (qui est à peu près évident) en montrant par récurrence sur n que cette propriété est vraie pour toutes les suites a et b dont les valeurs sont strictement positives.

La propriété est vérifiée pour n=0 puisque \xi_0:x\mapsto x.
Supposons ensuite qu’elle le soit pour n=p. Alors, comme

\xi_{p+1}(x)=\sqrt{a_0+b_0\xi_p^\sigma(x)}

il vient

\lim_{x\to\infty}\xi_{p+1}(x)=\sqrt{a_0+b_0\lim_{x\to\infty}\xi_p^\sigma(x)}=\infty

puisque, par hypothèse de récurrence, \lim_{x\to\infty}\xi_p^\sigma(x)=\infty. D’où la propriété.

Cela étant, comme \xi_n est strictement croissant, c’est une bijection de [0,+\infty[ sur [u_n(\mathbf 0),+\infty[. De plus, si c est une suite à valeurs positives ou nulles, alors u(c) majore u(\mathbf 0) puisque

u_n(\mathbf 0)=\xi_n(0)\leqslant \xi_n(c_n)=u_n(c)

En conséquence, les suites u(c) sont exactement les suites v telles que

\forall n\in \mathbf N, \quad v_n\geqslant u_n(\mathbf 0)

En particulier, il existe des suites c telles que \lim u(c)=\infty. C’est par exemple le cas de la suite

n\mapsto \xi_n^{-1}(u_n(\mathbf 0)+n)

Ainsi, l’image de e_{a,b} contient toujours \infty.

Cela étant, nous avons démontré dans le billet précédent que u(\mathbf 0) converge vers \infty ou vers une limite réelle, que nous noterons alors \gamma_0.

Dans le premier cas, pour toute suite c à valeurs positives ou nulles, u(c) tend vers \infty puisqu’il majore u(\mathbf 0). Dès lors l’image de e_{a,b} est \{\infty\}.

Dans le second cas, comme nous l’avons montré dans le billet précédent, [\gamma_0,+\infty[ est inclus à l’image de e_{a,b} et il résulte de ce qui précède que celle-ci ne contient aucun nombre réel strictement plus petit que \gamma_0. Mais elle contient \infty. Nous en concluons que \mathrm{im\ }e_{a,b}=[\gamma_0,\infty], ce qui achève de prouver (1).

Il reste à se convaincre de ce qu’il existe des suites a et b à valeurs strictement positives pour lesquelles u(\mathbf 0) tend vers \infty. Considérons des suites à valeurs strictement positives quelconques a et b ainsi qu’une suite à valeurs positives ou nulles c telle que u(c) tende vers \infty. Posons b'=b et choisissons une suite a' telle que

\forall n\in\mathbf N, \quad a'_n>a_n+b_nc_{n+1}

Il est facile de vérifier que la suite u(\mathbf 0) associée à a' et b' majore la suite u(c) associée à a et b(*). Elle tend donc aussi vers \infty. L’affaire est entendue!

P.S. La construction de a' ci-dessus permet de vérifier que, malheureusement peut-être, les « racines continues » présentées sur ce site (c’est-à-dire les empilements e(a,b)a est une suite d’entiers strictement positifs et b=\mathbf 1), ne convergent pas toujours. En effet, dans la construction en question, on peut prendre des a'_n entiers. Ainsi, à partir d’une racine continue éventuellement convergente, on peut en construire une pour laquelle les suites u(c), c\in\mathscr D_{a,b}, tendent toutes vers \infty. P.L. 16/10/2016

P.S. Un ami auquel j’ai fait part de mes cogitations sur les empilements infinis de radicaux m’a proposé un exemple explicite de suites a,b à valeurs strictement positives pour lesquelles \lim u(\mathbf 0)=\infty. Il s’agit de a=\mathbf 1 et b: n\mapsto 2^{(2^n)}. Il est facile en effet de voir que

\forall n\in \mathbf N, \quad u_n(\mathbf 0)\geqslant 2^n

ce qui montre bien que ces suites conviennent. P.L. 19/10/2016

__________
(*) Pour ne pas alourdir les notations, je n’ai pas explicité la dépendance des u(...) aux suites a et b dont ils dépendent, pas plus que je ne l’ai fait pour les fonctions \xi_n.
Je crois cependant que cette phrase est claire.

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