Une brève : deux belles formules trigonométriques et un empilement infini de radicaux

La formule de Carnot

\cos^2\cfrac x 2=\frac 1 2(1+\cos x)

permet d’obtenir une belle formule en divisant encore et encore x par 2. Il s’agit en l’occurrence de la formule, valable pour x\in[-\pi/2,\pi/2] et n>0,

\cos\cfrac{x}{2^n}=\frac 1 2 \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2+2\cos x}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}

Elle se démontre facilement par récurrence sur n.

Elle donne les limites suivantes

\forall r\in[0,2],\quad \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2+r}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}=2

Mais la formule de Carnot ci-dessus est vraie aussi en trigonométrie hyperbolique :

\cosh^2\cfrac x 2=\frac 1 2(1+\cosh x)

Par conséquent, pour tout nombre réel x,

\cosh\cfrac{x}{2^n}=\frac 1 2 \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2+2\cosh x}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}

et, dès lors,

\forall r\in[2,+\infty[,\quad \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2+r}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}=2

Au total, la limite

\lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2+r}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}

existe pour tout nombre réel positif r et vaut toujours deux.

Il faut rendre à César ce qui est à César! En l’occurrence, c’est à Pythales, un intervenant émérite du forum M@th en Ligne, qu’il faut rendre ce qui lui appartient. Il a fourni une jolie preuve de ce que nous venons de constater. Il observe que la suite n\mapsto u_n dont on prend la limite est croissante et majorée par 2 si r \leqslant 2 et décroissante et minorée par par 2 sinon. Dans tous les cas, la suite converge et, comme

u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}

sa limite u, qui est positive, vérifie u=\sqrt{2+u}. Elle vaut donc 2.

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4 réactions sur “Une brève : deux belles formules trigonométriques et un empilement infini de radicaux

  1. Pingback: A propos des empilement infinis de radiaux V | Blog de Pierre Lecomte

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