A propos des empilements infinis de radicaux V

Dans le troisième billet consacré aux empilements infinis de radicaux, nous avions observé ceci :

Si \lim u(\mathbf 0) est un nombre réel \gamma_0 et si c^{\gamma_0} converge vers \infty, alors pour tout nombre réel positif r, \lim u(\mathbf r)=\gamma_0.

Cette remarque ne s’applique pas aux empilements

e_{\mathbf p,\mathbf q}=\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots}}}}

(où p et q sont strictement positifs) car pour ceux-ci, la suite c^{\gamma_0} est constante. Malgré quoi(*),

\forall r\in[0,+\infty[,\quad \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots\sqrt{p+qr}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}=\gamma_0

Nous allons considérablement renforcer cela, en utilisant une propriété intéressante des suites c^\gamma, \gamma\geqslant \gamma_0, relatives à e_{\mathbf p,\mathbf q}. Pour rappel, ces suites sont définies par

\begin{cases}c^\gamma_0=\gamma\\[2ex]c^\gamma_{n+1}=\cfrac{c^\gamma_n-p}{q}\end{cases}

De plus, \lim u(\mathbf 0)=\gamma_0

\gamma_0=\cfrac{q+\sqrt{q^2+4p}}{2}

est l’unique racine positive de l’équation x^2-qx-p=0.

Voici alors la propriété annoncée.

(1) \boxed{\forall n\in\mathbf N,\quad c^\gamma_n\geqslant \left(\frac{2\gamma_0}{q}\right)^n(\gamma-\gamma_0)+\gamma_0}

Nous la démontrerons plus bas. En voici d’abord un corollaire

Soit une suite c à valeurs positives ou nulles. Si c est O(n^d) pour un certain d\in[0,+\infty[, alors \lim u(c)=\gamma_0 i.e.

\lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots\sqrt{p+qc_n}}}}}_{n\mbox{\ radicaux}}=\cfrac{q+\sqrt{q^2+4p}}{2}

Preuve du corollaire

On suppose c à valeurs non négatives et qu’il est d’ordre O(n^d). Soient \varepsilon >0 et \gamma=\gamma_0+\varepsilon. Il existe K et C>0 tel que

\forall n\geqslant K,\quad c_n\leqslant Cn^d

D’un autre côté, vu (1),

c_n^\gamma\geqslant \left(\frac{2\gamma_0}{q}\right)^n\varepsilon+\gamma_0

Comme

\cfrac{2\gamma_0}{q}=1+\sqrt{1+\cfrac{4p}{q^2}}>2

il existe donc L\geqslant K tel que

\forall n\geqslant L,\quad Cn^d \leqslant c^\gamma_n

Par conséquent, si n\geqslant L, alors u_n(\mathbf 0)\leqslant u_n(c)\leqslant u_n(c^\gamma)=\gamma=\gamma_0+\varepsilon. Mais, quitte à augmenter L, pour n\geqslant L, 0\leqslant \gamma_0-u_n(\mathbf 0) \leqslant \varepsilon car u(\mathbf 0) croît vers \gamma_0. Au total

n\geqslant L\quad \Longrightarrow \quad |u_n(c)-\gamma_0|\leqslant \varepsilon

Comme \varepsilon >0 est arbitraire, le corollaire est démontré.

Preuve de (1)

La fonction f: x\mapsto \frac 1 q(x^2-p) définit un système dynamique sur \mathbf R.

Par définition, l’orbite de \gamma\in\mathbf R sous ce système est la suite de nombres obtenue en lui appliquant de manière répétée f :

\gamma, f(\gamma), (f\circ f)(\gamma), \ldots , f^{\circ n}(\gamma), \ldots

suite en laquelle on reconnaît c^\gamma.

Par définition également, les points fixes du système sont les \gamma dont l’orbite est réduite à un point, c’est-à-dire tels que f(\gamma)=\gamma. Il s’agit des deux racines de l’équation x^2-qx-p=0. L’une est positive, c’est \gamma_0, l’autre, -p/\gamma_0, est négative.

Comme la concavité de la parabole d’équation y=f(x) est tournée vers le haut, il est clair, géométriquement, que l’orbite de tout \gamma>\gamma_0 tend vers +\infty. La formule (1) précise ce fait en montrant qu’au minimum, la croissance de c^\gamma est exponentielle (pour rappel, nous avons constaté plus haut que 2\gamma_0/q>2). Des expériences faites sur ordinateur me donnent l’impression que c^\gamma croît de manière significativement plus forte mais je n’ai pas approfondi la question. On observera pourtant que c’est cette estimation qui a permis de prouver le corollaire. Le simple fait de savoir que c^\gamma tend vers \infty ne permet pas d’établir celui-ci; il permet seulement de prouver que les suites u(\mathbf r) tendent vers \gamma_0. Améliorer notre connaissance de la croissance des suites c^\gamma nous permettrait peut être d’améliorer celle du comportement des suites u(c), c\in \mathscr D_{\mathbf p,\mathbf q}.

Cela étant, la suite

c': n\in\mathbf N\mapsto \left(\frac{2\gamma_0}{q}\right)^n(\gamma-\gamma_0)+\gamma_0\in[0,+\infty[

est l’orbite de \gamma sous l’action du système dynamique associé à la fonction

g :x \mapsto \cfrac{2\gamma_0}{q}(x-\gamma_0)+\gamma_0

(c’est immédiat à vérifier) et (1) provient essentiellement du fait que f majore g.

Ce dernier point est clair géométriquement. La droite d’équation y=g(x) est la tangente au point d’abscisse \gamma_0 du graphe de f et, par convexité, celui-ci, qui est la parabole dont nous avons parlé plus haut, est tout entier d’un même côté de cette tangente; en l’occurrence, il est « au-dessus ». Cela dit, on vérifie immédiatement que

\forall x\in\mathbf R,\quad f(x)-g(x)=\cfrac 1 q(x-\gamma_0)^2

(L’algèbre convaincra donc ceux que l’évidence géométrique aurait laissés sceptiques😉.)

Nous allons vérifier en détails par récurrence que la suite c^\gamma majore la suite c'.

Clairement, c^\gamma_0\geqslant c'_0. De plus, si c^\gamma_n\geqslant c'_n, alors

c^\gamma_{n+1}=f(c^\gamma_n)\geqslant g(c^\gamma_n)\geqslant g(c'_n)=c'_{n+1}

car g est croissant.

C’est ici que prend fin ce billet.😉

__________
(*) Cela se vérifie par exemple via une adaptation simple de l’argument donné par Pythales pour le cas p=q=2 (voir ici). C’est de toute façon une conséquence de ce qui va suivre.

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