A propos d’une certaine équation fonctionnelle

Cet article m’a été inspiré par une question posée sur le forum M@TH en ligne.

Les pseudonymes DjiLo, ThM, Cyrano et Tournesol sont ceux de participants qui ont pris part à la discussion. D’une manière ou d’une autre, ils m’ont aidé par des remarques, des observations ou en relevant des erreurs dans ce que je présentais comme solution au problème et je les en remercie.

DjiLo est l’auteur de la question. Il lui a donné une réponse assez élégante que vous trouverez sur le fil de discussion accessible par le lien ci-dessus. Voici la question:

Soit une application continue f:\mathbf R\to \mathbf R. Montrer que s’il existe une application g:\mathbf R^2\to \mathbf R telle que

\forall x,y\in \mathbf R, \quad f(x+y)=g(f(x),f(y))

alors f est monotone.

Dans sa solution, DjiLo montre directement que f est monotone. La mienne, sans doute un peu plus longue, consiste essentiellement à résoudre l’équation ci-dessus, c’est-à-dire à déterminer les couples de fonctions (f,g) vérifiant cette relation. Cela à conduit Tournesol à généraliser le problème comme ceci. Etant donnés un magma (M,*) et un ensemble E, déterminer les applications f:M\to E et g:E^2\to E vérifiant

\forall x,y\in M, \quad f(x*y)=g(f(x),f(y))

Je ne sais rien dire à ce degré de généralité. Par contre, je sais résoudre le problème pour les groupes. D’ailleurs Tournesol avait dans le fil de discussion mentionné plus haut, commencé à étudier le cas M=\mathbf Z/n\mathbf Z et s’était convaincu de ce que, dans ce cas, n est premier si, et seulement si, dans toute solution (f,g), f est nécessairement constant ou injectif. Nous retrouverons et généraliserons bientôt ce fait.

Les solutions d’une équation fonctionnelle

Donnons nous un groupe G et un ensemble E et cherchons les couples (f,g) d’applications f:G \to E et g:E^2\to E tels que

(1) \forall x,y\in G, \quad f(xy)=g(f(x),f(y))

(Je note (a,b)\mapsto ab la multiplication du groupe G.)

Soit donc un tel couple (f,g). Alors g munit l’image I de f d’une structure de groupe. Le neutre en est f(e), où e est celui de G, et f:E\to I est un homomorphisme de groupes. En effet, vu (1), g(I^2)\subseteq I. De plus, étant donnés u=f(x), v=f(y) et w=f(z), on obtient, en appliquant plusieurs fois (1),

\begin{cases}g(g(u,v),w)=g(u,g(v,w))=f(xyz)\\[1ex]g(u,f(e))=g(f(e),u)=f(x)=u\\[1ex]g(u,f(x^{-1}))=f(xx^{-1})=f(e)=g(f(x^{-1}),u)\end{cases}

La deuxième relation montre que f(e) est le neutre de I tandis que la troisième montre que l’inverse de f(x) dans I est l’image par f de l’inverse de x dans G. Vu (1), f est un homomorphisme de groupes.

Le noyau \ker f de f est un sous-groupe distingué G_0 de G et f passe au quotient G/G_0 pour donner un isomorphisme de groupes \bar f:G/G_0 \to I.

En fait, f est caractérisé par le sous-groupe G_0 et l’injection \bar f:G/G_0\to E tandis que g qui n’est contraint que sur I^2 est largement arbitraire si I\neq E.

En effet, donnons-nous un sous-groupe distingué G_0 de G et une injection \xi :G/G_0\to E. Posons f=\xi\circ p, où p:G\to G/G_0 est le passage au quotient. L’application \xi:G/G_0\to \mbox{im\ }f est une bijection et munit, par transport de la structure du groupe quotient G/G_0, l’image I de f d’une structure de groupe. On prolonge arbitrairement la multiplication de I en une application g:E^2\to E et on obtient ainsi un couple (f,g) vérifiant (1) et pour lequel \ker f=G_0 et \bar f =\xi.

Quelques exemples

a) Supposons que G soit un groupe simple. Il a donc exactement deux sous-groupes distingués : \{e\} et G. On obtient alors les solutions de (1) en prenant pour f soit une injection soit une application constante; le groupe I est alors respectivement une copie de G ou réduit à son élément neutre.

Le groupe \mathbf Z/n\mathbf Z est simple si, et seulement si, n est premier. On retrouve ainsi ce qu’avait observé Tournesol à propos de ce groupe.

b) Supposons que G soit le groupe additif (\mathbf R,+). Ses sous-groupes distingués — ses sous-groupes puisqu’il est abélien — sont connus. Un sous-groupe G_0 de G est soit dense dans \mathbf R, soit \{0\} ou encore de la forme \alpha\mathbf Z pour un certain nombre réel \alpha strictement positif.

Je ne sais pas à quoi ressemble G/G_0 lorsque G_0 est dense dans G. Par contre G/\{0\}=G, bien entendu, et, pour \alpha strictement positif, G/\alpha\mathbf Z est isomorphe au cercle trigonométrique S^1, c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes de module 1; un isomorphisme est donné par

x+\alpha\mathbf Z \mapsto e^{2i\pi\frac x \alpha}

Cela étant, pour répondre à la question de DjiLo, nous devons prouver que si (f,g) est une solution de (1) dans laquelle f est continu, alors f est monotone. Nous allons en fait voir qu’il est soit constant soit strictement monotone.

Supposons donc f continu. Le sous-groupe \ker f est donc fermé. S’il est dense dans \mathbf R, alors c’est \mathbf R : f est constant. Si \ker f=\{0\}, alors f est injectif et, par suite, strictement monotone. En effet,

(2) Toute application continue et injective d’un intervalle de \mathbf R dans \mathbf R est strictement croissante ou strictement décroissante.(*)

Nous allons enfin voir qu’il n’est pas possible que \ker f=\alpha\mathbf Z pour un certain nombre réel \alpha strictement positif, en procédant par l’absurde.

Admettons que \ker f=\alpha\mathbf Z, où \alpha >0. Alors f est injectif dans [0,\alpha[ puisque deux nombres en lesquels les valeurs de f sont égales diffèrent d’un multiple entier de \alpha. Par conséquent, vu (2), f est strictement monotone dans [0,\alpha[. Il est par exemple strictement croissant. Ainsi, f(0)<f(\alpha/2). Mais comme f(\alpha)=f(0), il y a dans ]\alpha/2,\alpha[ des x tels que f(x)<f(\alpha/2) ce qui contredit le fait que f est strictement croissant dans [0,\alpha[. On raisonne de la même façon lorsque f est strictement décroissant dans [0,\alpha[.

En résumé, les f continus qui apparaissent dans les solutions de (1) lorsque G=(\mathbf R,+) sont :

— les applications constantes. Pour celles-ci, le groupe I est réduit à son élément neutre.

— les homéomorphismes entre \mathbf R et un intervalle ouvert non vide(**). Pour un tel homéomorphisme, f, la structure de groupe de I est donnée par transport de la structure de (\mathbf R,+) par f. En particulier, sa multiplication est continue puisqu’elle est donnée par

\forall u,v\in I, \quad u*v=f(f^{-1}(u)+f^{-1}(v))

😉

__________
(*) Voici une preuve rapide de (2). Soit un intervalle J\subseteq \mathbf R et une application injective et continue \varphi :J\to\mathbf R. L’ensemble

e=\{(x,y)\in J^2|x<y\}

est l’union des deux ensembles disjoints

e_< =\{(x,y)\in e|\varphi(x) < \varphi(y)\} \quad \& \quad e_> =\{(x,y)\in e|\varphi(x) > \varphi(y)\}

Nous devons vérifier que l’un des d’eux est vide. Or, ce sont des ouverts de e car \varphi est continu. Comme e est connexe, il faut bien que cela soit le cas.

(**) Lorsque f est strictement monotone, le théorème des valeurs intermédiaires montre que l’image par f de tout intervalle ouvert est un intervalle ouvert. Ainsi, f est une application ouverte. Comme elle est aussi continue, c’est un homéomorphisme.

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