A propos d’une formule de Carnot

Dans cet article, nous avions obtenus deux belles formules trigonométriques en utilisant de façon répétée la formule de Carnot

\cos^2x=\frac 1 2\left(\cos(2x)+1\right)

et son analogue en trigonométrie hyperbolique. Cela nous a conduit à des suites d’approximations intéressantes de l’empilement infini de radicaux

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}

Nous allons ici déterminer les fonctions analytiques f sur \mathbf R qui vérifient l’équation

(1) \forall x\in \mathbf R, \quad f(x)^2=\frac 1 p\left(f(px)+1\right)

p est un entier positif donné. C’est une manière de généraliser la formule de Carnot en question pour laquelle p=2. Elle ne s’impose peut-être pas. Je me demandais simplement si nous pourrions de cette façon obtenir des suites d’approximations intéressantes d’autres empilements infinis de radicaux.

Aux constantes près, nous allons essentiellement trouver trois fonctions (le sens de « essentiellement » sera clair en fin de billet). Deux sont bien connues. Elles sont obtenues avec p=2. Il s’agit de \cos et de \cosh. La troisième s’obtient avec p=6. Si j’ai pu établir son existence, je ne l’ai par contre pas identifiée mais il est vrai que je ne connais rien aux fonctions particulières qui ont pu être étudiées spécifiquement, spéciales ou autres, par exemple en analyse numérique.

Notons

\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\cfrac{a_k}{k!}x^k

le développement de Taylor en 0 d’une solution f de (1).

Les conditions nécessaires et suffisantes imposées aux a_k pour que f vérifie (1) sont

(2) pa_0^2-a_0-1=0

et, pour k>0,

p^{k-1}\cfrac{a_k}{k!}=\sum\limits_{i+j=k}\cfrac{a_i}{i!}\cfrac{a_j}{j!}

relation qui s’écrit encore

(3) \left(p^{k-1}-2a_0\right)a_k=\sum\limits_{{i+j=k}\atop{i,j>0}}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j

Ainsi, a_0 est un zéro du polynôme pX^2-X-1. Ce dernier en possède deux puisque son discriminant est strictement positif. Par exemple, pour p=2, il s’agit de 1 et de -\frac 1 2.

La relation (3) quant à elle va nous permettre de calculer les a d’indices positifs par récurrence.

Le cas \boxed{a_0\notin\left\{\frac{p^k}{2}|k\in\mathbf N\right\}}

Voici alors une première observation.

Si a_0\notin\left\{\frac{p^k}{2}|k\in\mathbf N\right\} alors f est constant.

On va vérifier ceci en montrant par récurrence que a_k=0 pour k>0.

Avec k=1, (3) nous donne (1-2a_0)a_1=0 et, donc, a_1=0 puisque a_0\neq 1/2.

Ensuite, si k>1 et si a_1=\cdots=a_{k-1}=0, alors on déduit de

\left(p^{k-1}-2a_0\right)a_k=\sum\limits_{{i+j=k}\atop{i,j>0}}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j=0

que a_k=0, puisque a_0\neq p^{k-1}/2.

Pour chaque valeur entière de p, (1) admet deux solutions constantes x\mapsto a_0, à savoir celles pour lesquelles a_0 vérifie (2).

Pour trouver les éventuelles solutions non constantes de (1), nous devons déterminer les triples (k,p,a_0) tels que

\begin{cases}pa_0^2-a_0-1=0\\[1ex]p^{k-1}-2a_0=0\end{cases}

Comme le lecteur le vérifiera facilement, il y en a deux, ni plus ni moins : (1,6,\frac 1 2) et (2,2,1).

Le cas \boxed{p=2,a_0=1}

Lorsque p=2 et a_0=1, les a d’indices impairs sont tous nuls. En effet, (3) écrit avec k=0 montre immédiatement que a_1=0. De plus, si k>0 et si a_1=a_3=\cdots=a_{2k-1} sont nuls, alors a_{2k+1}=0. En effet, par (3) de nouveau,

\underbrace{\left(2^{2k}-2\right)}_{\neq 0}a_{2k+1}=\sum\limits_{{i+j=2k+1}\atop{i,j>0}}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j=0

car parmi les indices i, j apparaissant dans la somme des a_ia_j, il y en a toujours un qui est impair.

Cela étant, pour k=2, (3) est une tautologie; il n’y a pas de contrainte sur a_2. Nous rebaptisons ce dernier u. J’affirme alors que

\forall k\in\mathbf N, \quad a_{2k}=u^k

C’est vrai pour k=0 et k=1. Supposons que cela soit vérifié pour 0\leqslant k<n. Alors ce l'est pour k=n. En effet, faisant k=2n dans (3), nous obtenons

\left(2^{2n-1}-2\right)a_{2n}=\left(\sum\limits_{{i+j=n}\atop{i,j>0}}\cfrac{(2n)!}{(2i)!(2j)!}\right)u^n

Or(*)

2^{2n-1}-2=\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}{2n \choose 2\ell}

de sorte que a_{2n}=u^n.

Il résulte de ce qui précède que

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{u^kx^{2k}}{(2k)!}

Ainsi, pour u=0, f se réduit à l’application constante x\mapsto 1. Pour u>0, on a f: x\mapsto \cosh(\sqrt u x) et, pour u<0, f: x\mapsto \cos(\sqrt{|u|}x) . En conclusion, lorsque p=2, les solutions analytiques de (1) sont l'application constante x\mapsto -\frac 1 2, les applications x\mapsto \cosh(vx) et les applications x\mapsto \cos(vx), où v est un nombre réels arbitraire.

Pour ne pas être trop long, nous étudierons le dernier cas dans un autre billet.
__________
(*) Pour éliminer les coefficients binomiaux dont l'indice inférieur est impair, il suffit d'ajouter 0=(1-1)^{2n} à 2^{2n}=(1+1)^{2n}.

Une réflexion sur “A propos d’une formule de Carnot

  1. Pingback: A propos d’une formule de Carnot II | Blog de Pierre Lecomte

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