A propos d’une formule de Carnot III

Les billets de la série « A propos d’une formule de Carnot » sont consacrés à la détermination des fonctions analytiques

f:x\in\mathbf R\mapsto \sum_{k=0}^{+\infty}a_k\frac{x^k}{k!}\in\mathbf R

qui vérifient

\forall x\in\mathbf R,\quad f(x)^2=\frac 1 p[f(px)+1]

p est fixé. Lorsque qu’il vaut deux, cette formule est vérifiée par la fonction \cos et est alors connue comme étant une formule de Carnot.

Les équations que doivent vérifier les coefficients du développement de f pour satisfaire à la formule de Carnot généralisée sont

\begin{cases}pa_0^2-a_0-1=0\\[1ex]\forall k>0,\quad (p^{k-1}-2a_0)a_k=\sum_{{i+j=k \atop i,j>0}}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j\end{cases}

et nous avons constaté que si a_0\notin\{p^{k-1}/2|k\in\mathbf N\  \&\  k>0\} alors f est constant. Pour que f ne soit pas constant, il faut donc qu’il existe un entier n>0 tel que

pa_0^2-a_0-1=0 \quad \& \quad p^{n-1}-2a_0=0

ou, ce qui revient au même, tel que

a_0=\frac 1 2 p^{n-1} \quad \& \quad p^{2n-1}-2p^{n-1}-4=0

Dans les articles précédents de la série, nous nous étions limités à des valeurs entières de p, et avions déterminé les fonctions correspondant aux deux seuls triples (n,p,a_0) répondants à ces conditions, à savoir (1,6,\frac 1 2) et (2,2,1). Nous allons à présent voir ce qu’il se passe si on autorise les valeurs non entières (mais réelles) de p.

Dans le présent billet, nous étudions les zéros réels des polynômes

P_n:=X^{2n-1}-2X^{n-1}-4, \quad n=1,2,\ldots

Plus précisément, nous allons vérifier que P_n possède exactement un zéro réel, disons p_n, et établir que la suite n\mapsto p_n décroît strictement vers 1.

Allons-y! On a

P_n'=X^{n-2}[(2n-1)X^n-2(n-1)]

Posons

\alpha=\left(\frac{2(n-1)}{2n-1}\right)^{\frac 1 n}

et discutons selon la parité de n.

\boxed{n\mbox{\quad impair}}

Dans ce cas, les zéros de P_n' sont 0 et \alpha>0. Or P_n(0)=-4 et

P_n(\alpha)=\alpha^{2n-1}-2\alpha^{n-1}-4 <0

En effet, \alpha^{2n-1}<4 puisque \alpha<1.

Cela noté, P_n est strictement monotone dans ]\alpha,+\infty[. Vu que sa limite en +\infty vaut +\infty, il y est forcément croissant. Comme P_n(\alpha)<0, P_n s'annule donc exactement une fois dans ]\alpha,+\infty[.

Dans ]0,\alpha[, P_n est également strictement monotone mais puisqu’il est négatif aux extrémités de cet intervalle, il y est partout négatif et ne s’y annule donc jamais.

Enfin, P_n, qui est strictement monotone dans ]-\infty,0], y est nécessairement croissant puisque sa limite en -\infty est -\infty. Comme il est négatif en 0, il ne s’annule pas dans ]-\infty,0].

Au total, P_n ne possède qu’un seul zéro réel et celui-ci est strictement positif.

\boxed{n\mbox{\quad pair}}

Dans ce cas, les zéros de P_n' sont \pm \alpha quand n=2 et 0,\pm\alpha lorsque n>2. De plus,

P_n(-\alpha)=-\alpha^{2n-1}+2\alpha^{n-1}-4<0

car 2\alpha^{n-1} ne dépasse pas 4 puisque \alpha<1.

On conclut alors comme dans le cas précédent que P_n ne possède qu’un seul zéro réel et que celui-ci est positif.

L'existence de la suite p_n est donc établie.

Il reste encore à montrer qu'elle décroît strictement vers 1.

Notez que, vu que p_n est strictement positif, il est également strictement supérieur à 1.

Supposons alors que n_2 > n_1, q\geqslant p>1 et p^{2n_1-1}-2p^{n_1-1}-4=0. Alors(*)

q^{2n_2-1}-2q^{n_2-1}=q^{n_2-1}\left(q^{n_2}-2\right)\geqslant p^{n_2-1}\left(p^{n_2}-2\right)>p^{n_1-1}\left(p^{n_1}-2\right)=4

Par conséquent, si q^{2n_2-1}-2q^{n_2-1}=4 et q>1, alors q<p. La suite n\mapsto p_n est donc strictement décroissante et converge vers un nombre l\geqslant 1.

Mais, comme on l’a vu plus haut, P_n est strictement croissant dans [1,+\infty[. Par conséquent, P_n(l)<P_n(p_n)=0. Ainsi, pour tout entier strictement positif n, on a

l^{n-1}(l^n-2)<4

Dès lors l=1 car si l>1, alors

\lim\limits_{n\to+\infty}l^{n-1}(l^n-2)=+\infty

Notre but est atteint!

La suite des p_n débute par p_1=6, p_2=2 et

p_3=\frac{1}{3}\left(2+\sqrt[3]{17 + 3 \sqrt{33}} - \frac{2}{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}\right)\simeq 1.54369

Cette dernière valeur a été trouvée par l’utilisateur de M@th en Ligne dont le pseudonyme est : « . »

Vu la valeur de p_2, aucun p_n, n>2, n’est entier.

Nous verrons dans un ou l’autre billet à venir que pour chaque entier n>0, il existe des fonctions analytiques non constantes vérifiant la formule de Carnot généralisée pour p=p_n.

😉

__________
(*) Du fait que p^{2n_1-1}-2p^{n_1-1}-4=0, le nombre p^{n_1}-2 est strictement positif; compte tenu des hypothèses, les nombres q^{n_2}-2\geqslant p^{n_2}-2>p^{n_1}-2 sont donc strictement positifs aussi.

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Une réflexion sur “A propos d’une formule de Carnot III

  1. Pingback: A propos d’une formule de Carnot IV | Blog de Pierre Lecomte

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