A propos d’une formule de Carnot IV

Je vais poursuivre ici l’étude, entamée dans ce billet, des fonctions

f:x\in\mathbf R\mapsto \sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_k\frac{x^k}{k!}

vérifiant la formule de Carnot généralisée pour une valeur non nécessairement entière de p (cf. le billet en question dont j’utilise librement les notations et résultats).

Nous nous intéressons aux f non constants. Nous fixons par conséquent un entier strictement positif n, prenons p=p_n et a_0=\frac 1 2p^{n-1}. Pour chaque k>0, nous avons alors

(1) \left(p^{k-1}-p^{n-1}\right)a_k=\sum_{i+j=k \atop i,j>0}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j

Voici alors une première constatation.

Si k n’est pas multiple de n, alors a_k=0.

Voici comment voir cela. Naturellement, si n=1, il n’y a rien à prouver. Nous supposons donc n>1. Nous montrons alors par récurrence sur l’entier s>1 que a_k=0 pour tout entier k<s qui n’est pas multiple de n.

Pour le cas de base, s=2, cela revient à montrer que a_1 est nul. Pour le constater, on écrit (1) avec k=1, ce qui donne (1-p^{n-1})a_1=0 et, donc a_1=0 puisque p^{n-1}-1\neq 0.

Passons alors de s à s+1. Si s est multiple de n, il n'y a rien à faire car les entiers non multiples de n qui sont plus petits que s+1 sont également plus petits que s. Dans le cas contraire, on utilise à nouveau (1) qui donne

\left(p^{s-1}-p^{n-1}\right)a_s=\sum\limits_{i+j=s \atop i,j>0}\frac{k!}{i!j!}a_ia_j

Dans chaque terme de la somme du membre de droite, d’une part i,j<s et, d'autre part, i ou j n’est pas un multiple de n sans quoi s en serait un. Par conséquent, a_ia_j=0. Le membre de droite est donc nul.

Par ailleurs, p^{s-1} \neq p^{n-1} sinon s=n vu que p \neq 1.

Au total, a_s=0 et notre vérification est achevée.

En raison de ce que nous venons de constater, pour k=n, (1) est une tautologie. Le coefficient a_n est donc indéterminé. De plus les seuls coefficients du développement de f qui soient non nuls sont ceux dont l’indice est divisible par n et, pour tout k>1,

(2) \left(p^{kn-1}-p^{n-1}\right)a_{kn}=\sum\limits_{i+j=k \atop i,j>0}\frac{(kn)!}{(in)!(jn)!}a_{in}a_{jn}

Comme pour k>1, p^{kn-1}-p^{n-1} n’est pas nul, pour chaque valeur u attribuée à a_n, ces équations déterminent univoquement les a_{kn}, k>1. Nous les notons provisoirement a_{kn}(u), juste pour pouvoir énoncer ceci.

Pour tout k>0, on a a_{kn}(u)=a_{kn}(1)u^k.

C’est en réalité très simple à vérifier. En effet, en multipliant les deux membres de (2) par u^k, on constate que les deux suites k\mapsto a_{kn}(u) et k \mapsto a_{kn}(1)u^k vérifient la même relation de récurrence. Elles coïncident donc puisqu’elles prennent la même valeur en k=1.

Nous savons donc ce que doivent être les développements de Taylor des fonctions que nous cherchons. Ce ne sont pour l’instant que des séries formelles et il nous reste à voir si elles convergent et définissent des fonctions analytiques.

C’est ce que nous ferons dans un billet à venir.

😉

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Une réflexion sur “A propos d’une formule de Carnot IV

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