A propos d’une formule de Carnot V

Nous allons établir ici que les séries formelles obtenues dans ce billet définissent des fonctions qui sont analytiques sur \mathbf R tout entier.

Nous conservons les notations du billet en question. En particulier, les séries considérées sont celles de la forme

(1) \frac 1 2p^{n-1}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty} a_{kn}(1)\frac{u^kx^{kn}}{(kn)!}

Les coefficients a_{kn}(1) sont définis par les équations a_n(1)=1, et, pour tout k>1,

\left(p^{kn-1}-p^{n-1}\right)a_{kn}(1)=\sum\limits_{i+j=k \atop i,j>0}\frac{(kn)!}{(in)!(jn)!}a_{in}(1)a_{jn}(1)

Posons

\alpha_k=\cfrac{a_{kn}(1)}{(kn)!}

La suite des \alpha est donc définie par

\begin{cases}\alpha_1=\frac{1}{n!}\\[2ex]\forall k>1,\quad (p^{kn-1}-p^{n-1})\alpha_k=\sum_{i+j=k \atop i,j>0}\alpha_i\alpha_j \end{cases}

Nos problèmes de convergence seront réglés par le lemme suivant.

Soient un nombre réel r et la suite \gamma définie par

\begin{cases}\gamma_1=r\\[2ex]\forall k>1,\quad (p^{kn-1}-p^{n-1})\gamma_k=\sum_{i+j=k \atop i,j>0}\gamma_i\gamma_j \end{cases}

Alors, pour tout k>0,

|\gamma_k|\leqslant 2\left(\frac{|r|}{2}\right)^k\frac{1}{k!}

Nous allons établir cette majoration par récurrence (forte) sur k. Pour le cas de base, k=1, il n’y a rien à faire. Passons à l’induction et supposons que la majoration soit vérifiée par \gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1}. On a alors

(p^{kn-1}-p^{n-1})|\gamma_k|\leqslant 4\left(\frac{|r|}{2}\right)^k\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=1}^{k-1}{k \choose i}=2\left(\frac{|r|}{2}\right)^k\frac{1}{k!}[4(2^{k-1}-1)]

Tout revient alors à démontrer que

\forall k>0, \quad \frac{4(2^{k-1}-1)}{p^{kn-1}-p^{n-1}}\leqslant 1

ou encore que

\forall k\geqslant 0, \quad (p^n)^{k+1}-p^n\geqslant 4p(2^k-1)

ce que nous allons également faire par récurrence sur k. Nous poserons \xi=p^n pour alléger l’écriture. Observons que, par définition de p, on a \xi^2-2\xi-4p=0 ce qui montre en particulier que \xi>2. Nous devons vérifier que

\forall k\geqslant 0, \quad \xi^{k+1}-\xi\geqslant 4p(2^k-1)

Pour k=0, il n’y a rien à faire. Supposons alors k>0 et \xi^k-\xi\geqslant 4p(2^{k-1}-1). En multipliant cette relation par \xi et en tenant compte du fait que \xi^2=2\xi+4p, il vient

\xi^{k+1}-\xi\geqslant \xi+4p+4p(2^{k-1}-1)\xi

Mais

\xi+4p+4p(2^{k-1}-1)\xi\geqslant 4p(2^k-1)

En effet,

\xi+4p+4p(2^{k-1}-1)\xi-4p(2^k-1)=\xi+4p(2^{k-1}-1)(\xi-2)

est effectivement non négatif puisque k>0 et \xi>2.

Voilà, notre lemme est prouvé.

Pour établir que la série (1) définit une fonction analytique sur \mathbf R, nous devons montrer que son rayon de convergence est infini, ou encore, qu’elle converge absolument en tout nombre réel x. Nous allons faire cela en montrant que la série de puissances

(2) \frac 1 2 p^{n-1}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\alpha_ky^k

converge absolument partout et en notant que (1) se déduit de (2) en y remplaçant y par ux^n. Mais la convergence de (2) est immédiate. En effet, en appliquant le lemme à \alpha, on obtient

|\alpha_ky^k|\leqslant 2\left(\frac{|y|}{2(n!)}\right)^k\frac{1}{k!}

On conclut en observant que le membre de droite de cette majoration est le terme général de la série définissant 2\exp(\frac{|y|}{2(n!)}).

On peut d’une certaine façon se « débarrasser » de u en faisant une sorte de changement d’échelle. L’idée est d’en prendre une racine n-ième v et d’écrire ux^n=(vx)^n. Pour rester dans le cadre des nombres réels, il faut donc discuter selon la parité de n. Lorsqu’il est impair, u admet une seule racine n-ième réelle et elle est de même signe que lui. Lorsque n est pair, -u possède deux racines n-ième réelles et elles sont opposées (excepté si u est nul bien entendu).

Voici alors ce que je propose pour décrire les fonctions analytiques f qui vérifient la formule de Carnot généralisée(*)

(3) f(x)^2=\frac{1}{p_n}[f(p_nx)+1]

Lorsque n est impair, on note \varsigma_n la fonction

y\mapsto \frac 1 2p^{n-1}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\alpha_ky^k

tandis que pour n pair, on introduit deux fonctions :

\begin{cases}\varsigma_n^+: y\mapsto \frac 1 2 p^{n-1}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\alpha_ky^k\\[2ex]\varsigma_n^-: y\mapsto \frac 1 2 p^{n-1}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\alpha_k(-1)^ky^k \end{cases}

En guise de synthèse de ce que nous avons observé dans les billets de cette série, nous pouvons alors énoncer le résultat suivant.

Parmi les fonctions analytiques qui vérifient la formule de Carnot généralisée (3), il y a les deux constantes \frac 1 2 p^{n-1} et -\frac{2}{p^n}. Ce sont les deux zéros du polynôme du second degré p_nX^2-X-1. Il y a aussi les fonctions x\mapsto \varsigma_n((vx)^n) dans le cas impair et x\mapsto \varsigma_n^\pm((vx)^n) dans le cas pair, où v est un nombre réel quelconque(**), et il n’y a pas d’autres fonctions analytiques que celles que nous venons de décrire qui vérifient la formule de Carnot généralisée (3). Enfin, lorsque q n’est pas un des nombres p_n, n>0, alors les seules fonctions analytiques vérifiant la formule de Carnot généralisée

f(x)^2=\frac 1 q[f(qx)+1]

sont les deux fonctions constantes dont les valeurs sont les zéros du polynôme qX^2-X-1.

Dans les deux premiers billets de la série, nous avons rencontré \mathfrak{cos}(x)=\varsigma_1(x) ainsi que \cosh(x)=\varsigma_2^+(x^2) et \cos(x)=\varsigma_2^-(x^2).

Pour rappel,

p_3=\frac{1}{3}\left(2+\sqrt[3]{17 + 3 \sqrt{33}} - \frac{2}{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}\right)\simeq 1.54369

et voici un petit aperçu d’une approximation du graphe de \varsigma_3(x^3) qui me semble assez bonne :

sigma_3

Le graphe de la fonction est en bleu; les horizontales sont celles d’équations y=-1 et y=0,55.

S’il est clair qu’aucune fonction vérifiant une formule de Carnot généralisée ne peut prendre de valeur moindre que -1, je ne connais pas l’origine de ces maxima locaux approximativement égaux à 0,55 de \varsigma_3(x^3) pas plus que ceux de \mathfrak{cos} qui valent 5.

En fait, je ne connais pas encore grand chose des fonctions \varsigma_{2s+1} et \varsigma_{2s}^\pm. Les expérimentations numériques donnent quelques pistes mais je n’ai rien de sérieux que je sache établir.

Il se peut, naturellement, que ces fonctions soient bien connues mais je n’en sais rien.

Je vais essayer d’en savoir plus sur cette question et, bien entendu, toute remarque à propos de ces fonctions est la bienvenue!

😉

__________
(*) Pour rappel, ce que nous avons noté p jusqu’ici dans ce billet est en réalité le nombre p_n, unique zéro réel du polynôme X^{2n-1}-2X^{n-1}-4. Nous avons utilisé la notation simplifiée p pour alléger l’écriture.
(**) Lors que v est nul, ces fonctions se réduisent à la première de deux constantes mentionnées.

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2 réactions sur “A propos d’une formule de Carnot V

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