Quelques belles images

La série de billets A propos d’une formule de Carnot est consacrée à la recherche des fonctions analytiques vérifiant une généralisation de la formule de Carnot \cos^2(x)=\frac 1 2[\cos(2x)+1]. Dans celui-ci, j’ai introduit les fonctions \varsigma_{2m+1} et \varsigma_{2m}^\pm grâce auxquelles on peut aisément décrire les solutions non constantes de ce problème.

Parmi celles-ci il y a les fonctions(*)(**)

\begin{cases}\mathfrak{cos}_{2m+1}:x\mapsto \varsigma_{2m+1}(x^{2m+1})\\[2ex]\mathfrak{cos}_{2m}:x\mapsto \varsigma_{2m}^-(x^{2m})\end{cases}

et je vais présenter ici un aperçu du graphe de quelques unes.

\boxed{\mathfrak{cos}_1}

carnot_p_qcq_1

\boxed{\mathfrak{cos}_3}

carnot_p_qcq_3

\boxed{\mathfrak{cos}_5}

carnot_p_qcq_5

\boxed{\mathfrak{cos}_7}

carnot_p_qcq_7

\boxed{\mathfrak{cos}_2=\cos}

carnot_p_qcq_2

\boxed{\mathfrak{cos}_4}

carnot_p_qcq_4

\boxed{\mathfrak{cos}_6}

carnot_p_qcq_6

\boxed{\mathfrak{cos}_8}

carnot_p_qcq_8

Les \mathfrak{cos}_n d’indices impairs sont strictement croissants dans ]0,+\infty[ et leur limite en +\infty est +\infty.

Dans ]-\infty, 0[, leur comportement semble analogue à celui des \mathfrak{cos}_n d’indices pairs.

Ceux-ci, par définition, sont des fonctions paires. Leurs graphes sont donc symétriques par rapport à l’axe vertical.

Dans les deux familles, il est saisissant de voir comment évolue le graphe à mesure que l’indice n croît. Par ailleurs, ces graphes suggèrent fortement quelques propriétés des extrema locaux des fonctions \mathfrak{cos}_n. Mais, pour l’instant, je ne sais en formuler aucune avec précision.

P.S. Quand même! Voir le billet suivant. 🙂 P.L. 26/01/2017

__________
(*) Il y a aussi les fonctions

\mathfrak{cosh}_{m}x:\mapsto \varsigma_{2m}^+(x^{2m})

mais leurs graphes se ressemblent très fort pour les petites valeurs de x — les seules en lesquelles je sois en mesure de les évaluer — et on sait à peine les distinguer les uns des autres : on dirait des chaînettes (pour m=1, il s’agit de \cosh). Je ne les montre donc pas.

(**) La fonction notée \mathfrak{cos} ici est la fonction

x\mapsto \mathfrak{cos}_1(\frac 5 2 x)

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Une réaction sur “Quelques belles images

  1. Pingback: Une brève à propos du nombre d’or | Blog de Pierre Lecomte

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