Une brève à propos du nombre d’or

Le nombre d’or \varphi se débusque un peu partout. J’en ai d’ailleurs déjà parlé sur ce blog. Cette fois-ci, c’est dans le contexte des généralisations d’une formule de Carnot que j’ai étudiées récemment que nous allons le voir surgir.

Voici la formule que nous allons vérifier. Pour les notations utilisées dans l’énoncé et dans la démonstration, voir par exemple ici et ici.

\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}\mathfrak{cos}_n(0)=\varphi}

Pour rappel,

\mathfrak{cos}_n(0)=\frac 1 2p_n^{n-1}

p_n est l’unique zéro réel du polynôme X^{2n-1}-2X^{n-1}-4. La suite n\mapsto p_n décroît strictement vers 1. Le nombre \xi_n:=p_n^n est donc l’unique zéro positif du polynôme X^2-2X-4p_n :

\xi_n=1+\sqrt{1+4p_n}

En particulier, \lim_{n\to+\infty}\xi_n=2\varphi. En conséquence,

\lim\limits_{n\to +\infty}\mathfrak{cos}_n(0)=\lim\limits_{n\to +\infty}\cfrac{\xi_n}{2p_n}=\varphi

comme annoncé!

Comme \mathfrak{cosh}_m(0) vaut également p_n^{n-1}/2, où n=2m, nous avons aussi

\boxed{\lim\limits_{m\to +\infty}\mathfrak{cosh}_m(0)=\varphi}

😉

P.S. En fait, les suites n\mapsto\mathfrak{cos}_n(0) et n\mapsto\mathfrak{cosh}_n(0) sont strictement croissantes. En effet

\frac 1 2p_n^{n-1}=\cfrac{1+\sqrt{1+4p_n}}{2p_n}=\cfrac{1}{2p_n}+\sqrt{\cfrac{1}{4p_n^2}+\cfrac{1}{p_n}}

La propriété résulte alors de ce que la suite des p_n, qui sont positifs, est strictement décroissante. P.L. 26/01/2017

P.S. On a en réalité plus fort que ce qui précède. En effet, les suites de fonctions n\mapsto \mathfrak{cos}_n et n\mapsto \mathfrak{cosh}_n convergent uniformément sur tout compact de \mathbf R vers l’application constante x\mapsto \varphi.

Voyons comment vérifer cela pour la première suite, par exemple. On a

\mathfrak{cos}_n(x)=\frac 1 2 p_n^{n-1} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\alpha_k\sigma^k(x^n)^k

\sigma=(-1)^{n+1} (pour \mathfrak{cosh_m}, n=2m et \sigma =1). Je rappelle par ailleurs que

|\alpha_k|\leqslant 2\left(\frac{1}{2(n!)}\right)^k\frac{1}{k!}

De là, si |x|\leqslant K — et donc |x|^{nk}\leqslant K^{nk} pour tout entier positif k — alors pour tout entier positif N,

\left|\sum\limits_{k=1}^N\alpha_k\sigma^k(x^n)^k\right|\leqslant \sum\limits_{k=1}^N|\alpha_k|K^{nk}\leqslant 2\sum\limits_{k=1}^N\left(\frac{K^n}{n!}\right)^k\frac{2^{-k}}{k!}

Mais \frac{K^n}{n!} tend vers zéro lorsque n tend vers +\infty car c’est le terme général de la série qui définit \exp K. Par conséquent, à partir d’un certain rang n_0, \frac{K^n}{n!}\leqslant 1. Donc, si n\geqslant n_0, alors

\left|\sum\limits_{k=1}^N\alpha_k\sigma^k(x^n)^k\right|\leqslant 2\frac{K^n}{n!}\sum\limits_{k=1}^N\frac{2^{-k}}{k!}\leqslant 2\sqrt{e}\frac{K^n}{n!}

D’où, en laissant N tendre vers +\infty,

|\mathfrak{cos}_n(x)-\frac 1 2 p_n^{n-1}|\leqslant 2\sqrt{e}\frac{K^n}{n!}

et le résultat suit. P.L. 27/01/2017

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4 réactions sur “Une brève à propos du nombre d’or

  1. En fait, il est plus facile encore de voir ce lien si l’on divise x^2-2 \cdot x - 4 p_n par 4 et qu’on fait le changement de variable y = \frac{x}{2}, on se retrouve alors avec y^2-y-p_n avec p_n tendant vers 1 quand n tend vers l’infini, comme cela a été montré bien plus tôt ici…

    • Oui mais je préférais donner explicitement la valeur de \xi_n pour que sa convergence soit incontestable. Je trouve un peu délicat de déduire des propriétés de convergences des zéros d’une suite de polynômes à partir de la convergence de celle-ci.

      D’ailleurs, après avoir établi de la sorte la propriété, je me suis fait la réflexion suivante : en passant à la limite dans

      \mathfrak{cos}_n(0)^2=\frac{1}{p_n}[\mathfrak{cos}_n(0)+1]

      on voit bien ce vers quoi peu tendre \mathfrak{cos}_n(0) qui est positif. Mais cette réflexion ne prouve pas que la suite n\mapsto\mathfrak{cos}_n(0) converge…

      Mais merci pour l’observation. 🙂

  2. Pingback: Quelques belles images | Blog de Pierre Lecomte

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