Translations et homothéties

L’ensemble des homothéties (non constantes) et des translations d’un espace affine est un groupe, sous-groupe du groupe des affinités de l’espace. C’est connu mais peu diffusé, du moins en Belgique. Aussi vais-je en toucher un mot ici, d’autant que j’enseigne ce fait, sans l’avoir consigné dans mon syllabus.

A chaque application affine \mathcal T d’un espace affine \mathcal E dans lui-même, ce que nous noterons \mathcal T\in \mathrm{Aff}(\mathcal E,\mathcal E), est associée une application linéaire \mathcal T_*, endomorphisme de l’espace vectoriel \overrightarrow{\mathcal E} qui dirige \mathcal E(*). Elle est caractérisée par la propriété

\forall A,B\in\mathcal E,\quad \mathcal T_*(\overrightarrow{AB})=\mathcal{T}(B)-\mathcal{T}(A)

De plus, si \mathcal S,\mathcal T\in \mathrm{Aff}(\mathcal E,\mathcal E), alors \mathcal S\circ\mathcal T\in \mathrm{Aff}(\mathcal E,\mathcal E) et

(1) (\mathcal S\circ\mathcal T)_*=\mathcal S_*\circ\mathcal T_*

Comme \mathrm{id}_{\mathcal E*} =\mathrm{id}_{\overrightarrow{\mathcal E}} et, si \mathcal T est bijectif, (\mathcal T^{-1})_*=(\mathcal T_*)^{-1}, il résulte immédiatement de l’égalité (1) que l’ensemble des \mathcal T\in \mathrm{Aff}(\mathcal E,\mathcal E) pour lesquels \mathcal T_* est un multiple non nul de l’identité est un sous-groupe du groupe des affinités de \mathcal E.

A ma connaissance, aucune notation particulière n’a été retenue pour désigner ce groupe. Ici, pour le manipuler facilement, nous le noterons G. Par contre, il a reçu un nom. On l’appelle le groupe des homothéties-translations (vous comprendrez très bientôt pourquoi).

Je désigne par t_\mathbf u : X\mapsto X+\mathbf u la translation de vecteur \mathbf u et par \mathcal H_{C,k} l’homothétie de centre C et de rapport k :

\mathcal H_{C,k} : X \mapsto C+k\overrightarrow{CX}

Clairement, t_{\mathbf u*}=\mathrm{id}_{\overrightarrow{\mathcal E}} et \mathcal H_{C,k*}=k\mathrm{id}_{\overrightarrow{\mathcal E}}. Les homothéties et les translations appartiennent donc à G.

Réciproquement,

Si \mathcal T\in G, alors ou bien \mathcal T possède un point fixe et c’est une homothétie ou bien il n’en possède pas et c’est une translation.

En effet, donnons-nous \mathcal T\in G et posons \mathcal T_*=k\mathrm{id}_{\overrightarrow{\mathcal E}}. Fixons aussi un point A de \mathcal E. Alors,

(2) \forall X\in\mathcal E,\quad \mathcal T(X)=\mathcal T(A)+k\overrightarrow{AX}

En particulier, C est un point fixe de \mathcal T si, et seulement si,

(1-k)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA'}

(pour alléger l’écriture, j’ai noté A' l’image de A par \mathcal T).

Si k\neq 1, alors \mathcal T possède un point fixe, à savoir

C=A+\frac{1}{1-k}\overrightarrow{AA'}

et, en remplaçant A par C dans (2), on voit que \mathcal T est l’homothétie de centre C et de rapport k.

Si k=1, alors (2) se réécrit sous la forme

\forall X\in\mathcal E,\quad \mathcal T(X)-X=\mathcal T(A)-A

qui montre que \mathcal T est la translation de vecteur \overrightarrow {AA'}. Lorsque celui-ci n’est pas nul, \mathcal T n’a donc aucun point fixe. Dans le cas contraire, il fixe tous les points de \mathcal E et c’est aussi une homothétie(**).

Il est facile, et amusant, de voir comment se composent les homothéties et les translations. Je liste les résultats. Leurs vérifications sont laissées à la discrétion du lecteur.

Composée de deux translations

On a simplement la formule

\boxed{t_\mathbf u \circ t_\mathbf v=t_{\mathbf u+\mathbf v}}

Composée d’une homothétie et d’une translation

Cette fois

\boxed{\mathcal H_{C,k}\circ t_\mathbf u=t_{k\mathbf u}\circ\mathcal H_{C,k}}

Lorsque k\neq 1, la valeur commune des deux membres est l’homothétie de rapport k et de centre

C+\frac{k}{1-k}\mathbf u

Composée de deux homothéties

Si kl\neq 1, alors \mathcal H_{D,l}\circ \mathcal H_{C,k} est l’homothétie de rapport kl et de centre

C+\frac{1-l}{1-kl}\overrightarrow{CD}

sinon, c’est la translation de vecteur

\mathbf (1-l)\overrightarrow{CD}

Ce dernier s’annule si l=1 ou si C=D. Dans le premier cas, k=1 (puisque kl=1) : les deux homothéties sont égales à l’identité de \mathcal E dans lui-même et il en va de même de leur composée. Dans le second cas, les deux homothéties sont réciproques l’une de l’autre et leur composée est donc à nouveau l’identité de \mathcal E dans lui-même.

__________
(*) Traditionnellement, cette application linéaire est notée \overrightarrow{\mathcal T}. Pour alléger les notations, j’utilise ici la notation adoptée par un de mes collègues. Elle est assez légitime. En effet, en géométrie différentielle, la dérivée d’une application f entre variétés — son application linéaire tangente — est notée f_*. Or il se fait que l’application \overrightarrow{\mathcal T} est effectivement la dérivée de \mathcal T. Elle peut donc tout à fait bien être désignée par \mathcal T_*. L’égalité (1) est un avatar du théorème de dérivation des fonctions composées.

(**) Il n’y a qu’une homothétie de rapport 1. C’est l’identité de \mathcal E dans lui-même et c’est également la seule homothétie qui soit une translation.

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3 réactions sur “Translations et homothéties

  1. Bonjour,

    Quand j’étais petit, on appelait dilatation (du plan (euclidien, on ne connaissait que cela, mais en fait affine), mais cela s’étend à tout espace affine) une transformation qui transforme une droite en une droite parallèle. Puis on démontrait que toute dilatation est soit l’identité, soit une translation non identique, soit une homothétie ni identique ni constante.

    P. Dupont

    • Merci pour cette remarque. Pour ma part, à l’Athénée, on n’a pas étudié les transformations affines. Par la suite, j’en ai appris quelques aspects pour les besoin d’un de mes enseignements, sans aller bien loin. Pour faire le raccord entre ton énoncé et celui du billet, il suffit de noter qu’une application linéaire qui donne de tout élément une image qui lui est proportionnelle est un multiple de l’identité, ce qui est immédiat.

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