Soit un espace vectoriel réel, euclidien, orienté et de dimension
. Nous notons
son produit vectoriel.
Comme ce produit est antisymétrique, sa table de multiplication dans une base est complètement caractérisée par les trois produits
,
et
Il est bien connu que la table de multiplication du produit vectoriel est la même dans toutes les bases orthonormées positives. Plus précisément, si la base est orthonormée et positive, alors
(1)
Ce dont je n’avais pas conscience jusqu’à aujourd’hui, et dont je me suis rendu compte en préparant un cours que je donnerai demain matin, c’est que la réciproque est vraie :
Si des éléments
,
et
de
sont non nuls et vérifient (1), alors
est une base orthonormée et positive de
.
Supposons en effet que ,
et
, non nuls, vérifient (1).
D’une part, comme tout produit vectoriel est orthogonal à ses facteurs, ,
et
sont alors deux à deux perpendiculaires.
En particulier, ils sont linéairement indépendants puisqu’aucun n’est nul : est donc une base.
Celle-ci est positive vu que
(où désigne le produit mixte de
).
De plus, étant donné que
où est l’angle non orienté que font
et
, les longueurs
vérifient les relations
De là, et donc, vu que les
sont strictement positifs,
: les
sont normés.
😉