Une brève à propos des bases orthonormées positives en dimension 3

Soit un espace vectoriel $E$ réel, euclidien, orienté et de dimension $3$ . Nous notons $(\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\wedge\mathbf v$ son produit vectoriel.

Comme ce produit est antisymétrique, sa table de multiplication dans une base $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ est complètement caractérisée par les trois produits $\mathbf e_1\wedge \mathbf e_2$ , $\mathbf e_2\wedge \mathbf e_3$ et $\mathbf e_3\wedge \mathbf e_1.$

Il est bien connu que la table de multiplication du produit vectoriel est la même dans toutes les bases orthonormées positives. Plus précisément, si la base $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ est orthonormée et positive, alors

(1) $\begin{cases}\mathbf e_1\wedge \mathbf e_2=\mathbf e_3\\ \mathbf e_2\wedge \mathbf e_3=\mathbf e_1\\ \mathbf e_3\wedge \mathbf e_1=\mathbf e_2\end{cases}$

Ce dont je n’avais pas conscience jusqu’à aujourd’hui, et dont je me suis rendu compte en préparant un cours que je donnerai demain matin, c’est que la réciproque est vraie :

Si des éléments $\mathbf e_1$ , $\mathbf e_2$ et $\mathbf e_3$ de $E$ sont non nuls et vérifient (1), alors $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ est une base orthonormée et positive de $E$ .

Supposons en effet que $\mathbf e_1$ , $\mathbf e_2$ et $\mathbf e_3$ , non nuls, vérifient (1).

D’une part, comme tout produit vectoriel est orthogonal à ses facteurs, $\mathbf e_1$ , $\mathbf e_2$ et $\mathbf e_3$ sont alors deux à deux perpendiculaires.

En particulier, ils sont linéairement indépendants puisqu’aucun n’est nul : $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ est donc une base.

Celle-ci est positive vu que