Une brève à propos des indices musicaux II

Il n’y a pas que les produits scalaires qui engendrent une mise en dualité entre un espace vectoriel et son dual comme je l’ai expliqué en début de cet article. En fait, toute forme bilinéaire non dégénérée de l’espace le fait. Ici, nous allons nous intéresser à d’autres formes bilinéaires non dégénérées importantes, celles qui sont antisymétriques et qu’on appelle les formes symplectiques. Nous allons résoudre le même problème à propos de ces formes que celui que nous avons résolu dans le billet en question à propos des produits scalaires.

Considérons donc un espace vectoriel réel E, de dimension finie, et une forme symplectique \omega de E. Tout comme un produit scalaire, cette forme induit des bijections linéaires \flat :E \to E^* et \sharp : E^*\to E dont je vais rappeler les définitions, pour la commodité du lecteur. La première bijection est tout simplement l’application

\flat : x\in E\mapsto \omega(x,-)\in E^*

tandis que \sharp, sa réciproque, est caractérisé par

\forall \xi\in E^*, \forall x\in E, \quad \omega(\xi^\sharp,x)=\xi(x)

Avant d’aborder la question qui va nous occuper dans ce billet, je fais quelques rappels sur les formes symplectiques car elles sont sans doute moins connues du grand public que ne le sont les produits scalaires.

Tout d’abord, comme toute forme bilinéaire, dans toute base (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n) de E, une forme symplectique \omega de E est représentée par une matrice, celle dont les éléments sont les nombres \omega_{ij}=\omega(\mathbf e_i,\mathbf e_j). Puisque la forme est antisymétrique, cette matrice l’est également. Mais \omega est non dégénéré et ceci équivaut au fait que le déterminant de cette matrice n’est pas nul. Il en résulte que la dimension de E est paire (voir par exemple ici). Nous poserons donc n=2m.

On s’est naturellement posé la question de savoir si on peut donner à la matrice qui représente \omega une forme canonique « simple », en choisissant bien la base dans laquelle on représente \omega.

Pour les produits scalaires, la réponse à la même question est bien connue. Il s’agit des bases orthonormées. Ce sont celles dans lesquelles ils sont représentés par la matrice unité \mathrm{diag}(1,\ldots,1).

La réponse est également connue pour les formes symplectiques et ce sont les bases de Darboux qui conviennent. Il s’agit de celles dans lesquelles elles sont représentées par la matrice diagonale par blocs

\mathrm{diag}\underbrace{\left(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right)}_{m\ \mathrm{matrices}}

Ce sont donc les bases dans lesquelles, en termes des composantes de \mathbf x et de \mathbf y(*),

(1) \omega(\mathbf  x,\mathbf  y)=\sum_{k=1}^m\det\begin{pmatrix}x^{2k-1}&y^{2k-1}\\x^{2k}&y^{2k}\end{pmatrix}

Venons-en à présent à notre petit problème à savoir, étant donné \xi\in E^*, trouver l’ensemble \sharp(\xi) des éléments de E qui s’écrivent \xi^\sharp pour une forme symplectique bien choisie de E. La réponse tient en ceci : pour tout \xi\in E^*, on a

\sharp(\xi)=\begin{cases}\{0\}\ \mathrm{si}\ \xi=0\\[1ex]\ker \xi\setminus\{0\}\ \mathrm{sinon}\end{cases}

Je me contente de détailler le cas où \xi n’est pas nul, cela va de soi. Soit alors \xi^\sharp calculé pour une certaine forme symplectique \omega. D’abord \xi^\sharp n’est pas nul non plus (\sharp est une bijection linéaire). De plus, \xi(\xi^\sharp)=\omega(\xi^\sharp,\xi^\sharp)=0. Ainsi, \sharp(\xi)\subset \ker\xi\setminus\{0\}.

Pour l’inclusion inverse, soit \mathbf u\in \ker\xi\setminus\{0\}. Comme \mathbf u n’est pas nul, on peut trouver une base (\mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_n) de \ker\xi pour laquelle \mathbf u=\mathbf e_2. On peut aussi trouver un élément \mathbf e_1 de E tel que \xi(\mathbf e_1)=-1 car \xi\neq 0. Clairement, les \mathbf e_k, k=1,\ldots,n, sont linéairement indépendants. Ils forment donc une base de E et, vu nos choix, le premier élément de la base duale de celle-ci est \varepsilon^1=-\xi. Notons \omega la forme symplectique dont ce soit une base de Darboux c’est-à-dire la forme calculée par la formule (1) en termes des composantes relatives à cette base. Alors, pour tout \mathbf x\in E, on a

\omega(\mathbf u,\mathbf  x)=\omega(\mathbf e_2,\mathbf  x)=\det\begin{pmatrix}0&x^1 \\1&x^2\end{pmatrix}=-x^1=\xi(\mathbf x)

et la cause est entendue. 😉

__________
(*) Avec les notations du calcul tensoriel, une base est orthonormée pour un produit scalaire g si, en notant (\varepsilon^1,\ldots,\varepsilon^n) sa base duale,

g=\sum_{k=1}^n\varepsilon^k\otimes\varepsilon^k

et c’est une base de Darboux pour une forme symplectique \omega si

\omega=\sum_{k=1}^m\varepsilon^{2k-1}\wedge\varepsilon^{2k}

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Une réflexion sur “Une brève à propos des indices musicaux II

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