Courbure et épaississement II

Je continues ici cet article auquel je vous reporte pour les définitions, les notations et des propriétés que nous allons utiliser.

L’objectif poursuivi est de montrer que la courbure de la frontière du t-épaissi d’un convexe d’un plan affine euclidien est moindre que celle de la frontière du convexe, pour autant que celle-ci soit suffisamment régulière.

Ceci est illustré sur la figure suivante, où le phénomène est nettement perceptible.

La courbe dessinée en bleu, la parabole d’équation y=x^2 dans le repère indiqué, délimite un convexe dont elle est la frontière. La courbe tracée en noir est celle du 2-épaissi de celui-ci.

Nous considérons une partie convexe et fermée e d’un plan affine euclidien orienté E. Nous supposons que la frontière du convexe est une courbe régulière \gamma : I\to E de classe C^2, où I est un intervalle ouvert de \mathbf R.

A chaque u\in I est associé un repère de E. Son origine est \gamma(u) et sa base (\mathbf t(u),\mathbf n(u)) est orthonormée et positive. Elle est formée du vecteur tangent unitaire \mathbf t(u)=\gamma'(u)/\|\gamma'(u)\| à \gamma en \gamma(u) et de la normale \mathbf n(u). Celle-ci s’obtient en appliquant à \mathbf t(u) la rotation d’angle \pi/2.

Le repère en question varie conformément aux équations

\begin{cases}\mathbf t'=\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf n\\[1ex]\mathbf n'=-\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf t\end{cases}

où la fonction \kappa^* est la courbure algébrique de \gamma.

La dérivée \mathbf t' pointe vers la concavité de \gamma alors que \mathbf n, déterminé univoquement par \mathbf t et l’orientation donnée de E, ne le fait peut-être pas. Le signe de \kappa^* est précisément celui qu’il faut pour assurer que \kappa^*\mathbf n ait le bon sens. La courbure \kappa de \gamma est toujours positive ou nulle. C’est la valeur absolue de la courbure algébrique.

Dans notre cas, pour chaque u\in I, le convexe e est entièrement contenu dans le demi-plan délimité par la tangente à \gamma en \gamma(u) vers lequel pointe \mathbf t'(u). Nous supposons que, par contre, \mathbf n(u) pointe vers l’autre demi-plan, ce qui n’est pas une restriction. En particulier, \kappa^* est négatif ou nul.

On a vu dans l’article mentionné plus haut que la frontière du t-épaissi de e est l’ensemble des points de E dont la distance à e vaut exactement t (nous supposons ce dernier strictement positif). Par conséquent, la frontière de e_t est la courbe paramétrée par la fonction

\gamma_t : u\in I \mapsto \gamma(u)+t\mathbf n(u)\in E

Nous allons calculer sa courbure pour la comparer à celle de la frontière de e, en appliquant les équations rappelées plus haut. On a

\gamma_t'=\gamma'-t\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf t=(1-t\kappa^*)\gamma'

Vu le signe de \kappa^*, 1-t\kappa^*>0 de sorte que

\mathbf t_t=\frac{\gamma_t'}{\|\gamma_t'\|}=\frac{\gamma'}{\|\gamma'\|}=\mathbf t

On a donc aussi \mathbf n_t=\mathbf n. De plus,

\kappa^*_t\|\gamma_t'\|\mathbf n_t=\mathbf t_t'=\mathbf t'=\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf n

Ainsi

\kappa^*_t=\frac{\kappa^*}{1-t\kappa^*}

et, puisque \kappa=-\kappa^* et \kappa_t=-\kappa^*_t,

\boxed{\kappa_t=\frac{\kappa}{1+t\kappa}}

Nous avons atteint notre but. En effet, la formule encadrée montre que \kappa_t\leqslant \kappa, l’inégalité étant stricte si \kappa>0.

La relation que nous avons trouvée est très simple mais il y a encore plus simple et intuitif. Pour rappel, le rayon de courbure \varrho(u) de \gamma en \gamma(u) est l’inverse de la courbure \kappa(u). En passant aux inverses dans la relation liant \kappa_t à \kappa, il vient alors

\boxed{\varrho_t=\varrho+t}

Nous pourrions en rester là mais je tiens à vous faire part d’une observation étrange. Elle est liée à la propriété (f) établie dans l’article cité au début du présent billet : pour tous s,t>0, on a (e_s)_t=e_{s+t}. Ceci implique que, considérant \kappa_t comme une fonction K de (t,\kappa) et \varrho_t comme une fonction R de (t,\varrho), on doit avoir

K(t,K(s,\kappa))=K(s+t,\kappa)\quad \& \quad R(t,R(s,\varrho))=R(s+t,\varrho)

Ceci, pour intéressant que cela puisse être, n’a rien d’étrange. On connait l’origine de cette propriété et, en outre, la vérification directe de ces formules est immédiate, singulièrement dans le cas de R.

Ce qui est surprenant, par contre, c’est que K est essentiellement(*) le flot du champ de vecteurs X:\kappa\mapsto -\kappa^2\frac d{d\kappa} de \mathbf R et R celui de son champ \varrho\mapsto \frac d{d\varrho}. Ces champs sont les expressions locales dans les cartes canoniques de la droite projective réelle d’un champ de vecteurs fondamental de celle-ci. Il s’agit, avec les notations de ce billet, du champ H^*

H=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

Cela est-il purement accidentel ou il y a-t-il quelque chose d’intéressant se cachant derrière ce fait? Je n’en sais rien et vais donc finir ici ce billet!

😉

__________
(*) Je ne précise pas le domaines de K, facile à déterminer. D’où cette imprécision : « essentiellement ».

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