A propos des polygones plans : aire et milieux des côtés

Le but de cet article est de prouver la propriété suivante :

Des polygones A_1A_2\cdots A_n et A'_1A'_2\cdots A'_n dont les milieux des côtés homologues sont égaux ont même aire.

Je vais d’abord préciser le contexte dans lequel cette proposition est considérée. En particulier, je vais préciser la notion d’aire à laquelle elle réfère.

Nous nous plaçons dans un plan affine muni d’une SL(2,\mathbf R)-structure.

Je ne nomme pas ce plan car nous n’en considérerons pas d’autre et quand je parlerai du plan, il s’agira de lui.

D’autre part, je vous renvoie à ce billet pour ce qui concerne les SL(n,\mathbf R)-strucutures et les formes volumes associées. Cela dit, il n’est pas nécessaire de savoir ce qu’est une SL(n,\mathbf R)-strucutures pour comprendre ce qui suit et, comme on le constatera, l’utilisation que nous allons faire de la forme volume est extrêmement simple.

Nous noterons \omega la forme volume associée à la SL(2,\mathbf R)-structure dont est muni le plan. Pour rappel, c’est une application à valeurs réelles, bilinéaire, antisymétrique et non nulle définie sur l’espace E des vecteurs libres du plan, i.e. l’espace vectoriel sur lequel il est modelé.

Notre plan est alors doté d’une orientation privilégiée, liée à sa SL(2,\mathbf R)-structure. Les bases positives définissant cette orientation sont les bases (\mathbf u,\mathbf v) pour lesquelles \omega(\mathbf u,\mathbf v) est strictement positif.

Aire orientée d’un polygone : définition

La forme volume est utilisée pour introduire la notion d’aire orientée de certaines parties du plan. Je me limiterai ici à l’aire orientée des polygones(*) telle que l’a introduite Möbius. Par définition, l’aire (orientée, je ne le préciserai plus) d’un triangle A_1A_2A_3 est le nombre

\mathscr A_{A_1A_2A_3}=\frac 1 2\omega(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})

Pour définir l’aire \mathscr A_\mathbf P d’un polygone \mathbf P=A_1A_2\cdots A_n, on choisit alors un point quelconque O et on pose

\mathscr A_\mathbf P=\sum_{k=1}^n\mathscr A_{OA_kA_{k+1}}

Le membre de droite de cette égalité ne dépend pas de O. En effet, si O', A, B sont des points, alors

\omega(\overrightarrow{O'A},\overrightarrow{O'B})=\omega(\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OB})=\omega(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})+\omega(\overrightarrow{O'O},\overrightarrow{AB})

Par conséquent,

\begin{array}{rcl}\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{O'A_k}, \overrightarrow{O'A_{k+1}})&=&\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k}, \overrightarrow{OA_{k+1}})+\omega(\overrightarrow{O'O},\sum_{k=1}^n \overrightarrow{A_kA_{k+1}})\\[2ex]&=&\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k}, \overrightarrow{OA_{k+1}})\end{array}

puisqu’en vertu de la relation de Chasles,

\sum_{k=1}^n \overrightarrow{A_kA_{k+1}}=0

Aire orientée d’un polygone : expression analytique

Il existe des base adaptées à \omega. Ce sont les bases dans lesquelles (avec des notations évidentes)

\forall \mathbf u,\mathbf v\in E,\quad \omega(\mathbf u,\mathbf v)=\det\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}

Ce sont exactement les bases (\mathbf u,\mathbf v) pour lesquelles \omega(\mathbf u,\mathbf v)=1. En particulier, elles appartiennent à l’orientation associée à \omega.(**)
Dans un repère du plan dont la base est adaptée à \omega, on a alors

(2) \mathscr A_{A_1A_2\cdots A_n}=\sum_{k=1}^n\det\begin{pmatrix}x_k&x_{k+1}\\y_k&y_{k+1}\end{pmatrix}

Pour le voir, il suffit d’appliquer la définition de l’aire orientée du polygone A_1A_2\cdots A_n en prenant pour O l’origine du repère.

Preuve de la propriété

Nous allons à présent vérifier la propriété énoncée en début de billet et dans laquelle l’aire dont il est question est l’aire orientée dont on vient de parler.

Le fait que les milieux des côtés homologues des polygones A_1A_2\cdots A_n et A'_1A'_2\cdots A'_n soient égaux se traduit par

(1) \forall k\in\{1,\ldots,n\},\quad \overrightarrow{A_kA'_k}+\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}}=0

Cela noté, il vient

\begin{array}{rcl}2\mathscr A_{A'_1A'_2\cdots A'_n}&=&\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA'_k},\overrightarrow{OA'_{k+1}})\\[2ex]&=&\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k}+\overrightarrow{A_kA'_k},\overrightarrow{OA_{k+1}}+\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}})\\[2ex]&=&\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k},\overrightarrow{OA_{k+1}})+\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{A_kA'_k},\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}})+\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k},\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}}-\overrightarrow{A_{k-1}A'_{k-1}})\end{array}

Mais, vu (1) et l’antisymétrie de \omega, les termes \omega(\overrightarrow{A_kA'_k},\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}}) sont nuls et, vu (1) toujours, pour k\in\{1,\ldots,n\},

\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}}-\overrightarrow{A_{k-1}A'_{k-1}}=\overrightarrow{A_{k+1}A'_{k+1}}+\overrightarrow{A_kA'_k}=0

Ainsi,

2\mathscr A_{A'_1A'_2\cdots A'_n}=\sum_{k=1}^n\omega(\overrightarrow{OA_k},\overrightarrow{OA_{k+1}})=2\mathscr A_{A_1A_2\cdots A_n}

et le tour est joué.

Portée de la propriété

La propriété que nous venons de démontrer n’est réellement significative que lorsque le nombre de sommets des polygones est pair. En effet, nous avions constaté dans cet article que si n est impair, il n’y a qu’un polygone à n sommets dont les milieux des côtés soient prescrits. De plus, dans le même article, nous avons constaté que, étant donnés n points, n pair, alors ou bien il n’y a pas de polygone dont ce soient les milieux des côtés, ou bien tout point A_1 est le premier sommet d’un unique polygone A_1A_2\cdots A_n dont ce soient les milieux des côtés et c’est dans ce dernier cas que la propriété apporte un information non triviale.

Ce que je viens de rappeler découle aisément du fait suivant. Soient des points B_1,\ldots, B_n et, pour k\in\{1,\ldots,n\}, la symétrie centrale s_k de centre B_k. Si A_1A_2\cdots A_n est un polygone dont les B_k sont les milieux des côtés, alors, pour k\in\{1,\ldots,n\}, A_{k+1}=s_k(A_k). En particulier, A_1 est un point fixe de la composée \varsigma:=s_n\circ \cdots \circ s_1. Cela étant :

— si n est impair, \varsigma est une symétrie centrale et l’unique polygone A_1A_2\cdots A_n dont les B_k soient les milieux des côtés est celui pour lequel A_1 est le centre de cette symétrie, à savoir le point

B_1+\overrightarrow{B_2B_3}+\overrightarrow{B_4B_5}+\cdots

— si n est pair, \varsigma est une translation. Elle n’a des points fixes que si c’est l’identité, auquel cas, tous les points du plan en sont des points fixes. On peut vérifier que le vecteur de cette translation est le double de

\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_3B_4}+\cdots

Pour qu’il y ait des polygones dont les B_k soient les milieux des côtés, il faut, et il suffit, que ce vecteur soit nul.

Pour n=4, cette condition signifie que le quadrilatère B_1B_2B_3B_4 est un parallélogramme. On l’appelle le parallélogramme de Varignon des polygones dont les milieux des côtés sont les B_k.

Il est remarquable que l’aire du parallélogramme de Varignon d’un quadrilatère soit la moitié de celle de celui-ci. (Ceci se voit facilement en utilisant par exemple (2); c’est assez difficile à prouver sans utiliser de repère en raison de la diversité des configurations qu’il faut envisager : quadrilatère convexe, croisé, etc.) Notez que l’aire du triangle formé des milieux des côtés d’un triangle vaut le quart de l’aire de ce dernier. Mais la régularité que laissent éventuellement pressentir ces deux observations n’existe pas : pour n>4, le rapport de l’aire d’un polygone à n sommets à celle du polygone formé par les milieux de ses côtés dépend non seulement de n mais aussi du polygone. Pour l’instant, je ne sais pas de quelle manière.

Je vais donc achever ce billet ici. 😉

__________
(*) Un polygone du plan est une suite périodique k\in\mathbf Z \mapsto A_k de points dont trois consécutifs ne sont jamais alignés. Si n est sa période, on désigne le polygone par A_1A_2\cdots A_n. Ses côtés sont les segments [A_k,A_{k+1}], k=1,\ldots,n (bien noter que A_{n+1}=A_1).
(**) Un plan affine euclidien et orienté possède une forme volume privilégiée, celle dont les bases orthonormées positives de l’espace des vecteurs libres sont des bases adaptées. La notion d’aire associée est très classique. Par exemple, l’aire d’un triangle est, à un signe près qui dépend de son orientation, le fameux produit « base fois hauteur sur deux ».

3 réactions sur “A propos des polygones plans : aire et milieux des côtés

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