A propos des polygones plans : un critère de convexité

Considérons un plan affine \mathcal E modelé sur un espace vectoriel réel E.

Comme illustré par la figure suivante, un polygone A_1A_2\cdots A_n de ce plan(*) est convexe, par définition, si, pour chaque k\in\{1,\ldots,n\}, il est entièrement contenu dans un des demi-plans délimités par la droite A_kA_{k+1}(**).

convexite

Soient une droite \mathcal D de \mathcal E et une équation cartésienne \alpha=0 de celle-ci dans un repère donné de \mathcal E. Le premier membre de cette équation est un polynôme du premier degré en deux variables et nous désignerons par \alpha(P) la valeur qu’il prend en les coordonnées d’un point P.

La droite \mathcal D est le lieu des points P tels que \alpha(P)=0. Son complémentaire possède deux composantes connexes. Ce sont les demi-plans (ouverts) délimités par \mathcal D. L’un est le lieu des points P tels que \alpha(P)>0, l’autre celui des points P tels que \alpha(P)<0.

Pour chaque k\in\{1,\ldots,n\}, choisissons une équation \alpha_k=0 de la droite A_kA_{k+1}. Le polygone A_1A_2\cdots A_n est alors convexe si, et seulement si, pour chaque k\in\{1,\ldots,n\}, les signes des nombres

\alpha_k(A_j),\quad j\in\{1,\ldots,n\}, j\neq k, j\neq k+1

sont égaux.

En utilisant une forme volume de E, nous allons obtenir une version intrinsèque de ce critère. Pour rappel, une forme volume de E est une application bilinéaire, antisymétrique et non nulle de E\times E dans \mathbf R. Voici alors le critère anoncé.

Soit une forme volume \omega de E. Le polygone A_1A_2\cdots A_n est convexe si, et seulement si, pour chaque k\in\{1,\ldots,n\}, les signes des nombres

\omega(\overrightarrow{A_kA_j},\overrightarrow{A_kA_{k+1}}),\quad j\in\{1,\ldots,n\}, j\neq k, j\neq k+1

sont égaux.

Considérons en effet une forme volume \omega de E et choisissons une base (\mathbf e_1,\mathbf e_2) de ce dernier telle que \omega(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=1(***). Dans celle-ci, avec des notations évidentes,

\omega(\mathbf u,\mathbf v)=\det\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}

Notons alors (x_k,y_k) les coordonnées des A_k dans un repère de \mathcal E dont (\mathbf e_1,\mathbf e_2) est la base. Dans ce repère, la droite A_kA_{k+1} admet l’équation \alpha_k=0, où

\alpha_k(x,y)=(y_{k+1}-y_k)(x-x_k)-(x_{k+1}-x_k)(y-y_k)

D’où la propriété puisque

\alpha_k(A_j)=\omega(\overrightarrow{A_kA_j},\overrightarrow{A_kA_{k+1}})

Les nombres \omega(\overrightarrow{A_kA_j},\overrightarrow{A_kA_{k+1}}) ont une interprétation intéressante. Comme je l’ai expliqué ici, \omega munit \mathcal E d’une orientation et permet de définir l’aire orientée des polygones de \mathcal E. En particulier, celle d’un triangle ABC est \frac 1 2\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}). Pour une valeur de k donnée, les nombres \omega(\overrightarrow{A_kA_j},\overrightarrow{A_kA_{k+1}})A_j balaie les sommets autres que A_k et A_{k+1} sont donc les doubles des aires orientées des triangles A_kA_jA_{k+1}.

Par exemple, pour le pentagone représenté ci-dessous et pour k=1, il s’agit des trois triangles A_1A_3A_2, A_1A_4A_2 et A_1A_5A_2. Ils sont représentés en gris.

convexite_2

Un exemple : les parallélogrammes

Considérons un quadrilatère A_1A_2A_3A_4 de \mathcal E pour lequel

\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_3A_4}=0

convexite_3

On a aussi

\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_4A_1}=\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{A_4A_3}+\overrightarrow{A_3A_1}=-\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_3A_4}\right)=0

par conséquent, les côtés [A_1,A_2] et [A_3,A_4] sont parallèles de même que [A_2,A_3] et [A_4,A_1]. Le quadrilatère est donc ce qu’on appelle communément un parallélogramme.

Lorsqu’on le dessine, on ne peut que le dessiner convexe. Cependant ce n’est pas une preuve formelle de la convexité de ce quadrilatère. Notre critère va par contre nous en donner une immédiatement. Il s’avère en effet que, \omega étant une quelconque forme volume de E,

\begin{cases}\omega(\overrightarrow{A_1A_3},\overrightarrow{A_1A_2})=\omega(\overrightarrow{A_1A_4},\overrightarrow{A_1A_2})\\[2ex]\omega(\overrightarrow{A_2A_1},\overrightarrow{A_2A_3})=\omega(\overrightarrow{A_2A_4},\overrightarrow{A_2A_3})\\[2ex]\omega(\overrightarrow{A_3A_1},\overrightarrow{A_3A_4})=\omega(\overrightarrow{A_3A_2},\overrightarrow{A_3A_4})\\[2ex]\omega(\overrightarrow{A_4A_2},\overrightarrow{A_4A_1})=\omega(\overrightarrow{A_4A_3},\overrightarrow{A_4A_1})\end{cases}

En effet

\omega(\overrightarrow{A_1A_4},\overrightarrow{A_1A_2})=\omega(\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{A_3A_4},\overrightarrow{A_1A_2})=\omega(\overrightarrow{A_1A_3}-\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_2})=\omega(\overrightarrow{A_1A_3},\overrightarrow{A_1A_2})

etc.

C’est ici que s’achève notre billet.

P.S. En fait, je viens de me rendre compte — je suis lent, vous le savez — de ce que tout résulte de ceci : des points C et D de \mathcal E n’appartenant pas à une droite AB, sont situés d’un même côté ou de part et d’autre de celle-ci si, et seulement si, les signes des aires orientées des triangles ACB et ADB sont égaux ou opposés, aires mesurées par rapport à une forme volume quelconque de E. La preuve de cette propriété est facile à écrire vu ce qui se trouve plus haut. P.L. 15/11/2017
__________
(*) Un polygone d’un plan est une suite périodique k\in\mathbf Z \mapsto A_k de points du plan dont trois consécutifs ne sont jamais alignés. Si n est sa période, on désigne le polygone par A_1A_2\cdots A_n. Ses côtés sont les segments [A_k,A_{k+1}], k=1,\ldots,n (bien noter que A_{n+1}=A_1).
(**) Lorsque n vaut trois, cette condition est toujours vérifée: tous les triangles sont convexes! C’est rassurant 😉
(***) Je laisse au lecteur le soin de construire une telle base (c’est facile).

Une réaction sur “A propos des polygones plans : un critère de convexité

  1. Pingback: Coordonnées barycentriques et aires orientées | Blog de Pierre Lecomte

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