Courbure et droite projective réelle I

Considérons une courbe régulière (I,\gamma) d’un plan affine euclidien orienté. Pour simplifier l’exposé, nous supposerons avoir choisi une fois pour toute un repère orthonormé et positif et travaillerons directement en coordonnées et composantes relatives à ce repère.

Pour définir la courbure algébrique \kappa^* de \gamma, on utilise traditionnellement une base formée d’une tangente unitaire \mathbf t et d’une normale unitaire \mathbf n comme je l’ai expliqué dans cet article. Le tout est résumé par l’équation

\mathbf t'=\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf n

qui exprime en sens, direction et intensité, la manière dont \mathbf t varie, i.e. comment la courbe « se plie ».

On aurait tout aussi bien pu étudier la courbe (I,\varsigma) de la droite projective réelle P^1\mathbf R définie par

\varsigma(t)=\mathbf R\gamma'(t)

La droite \varsigma(t) est en effet le vectoriel directeur de la (droite) tangente à \gamma en t. Sa façon de varier devrait donc nous renseigner tout autant que celle de \mathbf t sur la courbure de \gamma.

C’est précisément ce que nous allons constater ici en calculant le vecteur tangent \varsigma'(t) à l’aide d’une jolie formule.

Nous avons pour cela besoin de quelques rappels à propos de P^1\mathbf R.

Tout d’abord, celui-ci est recouvert par les domaines de deux systèmes privilégiés de coordonnées, dits canoniques, (U_i,\varphi_i). L’ouvert U_i est formé des droites vectorielles de \mathbf R^2 qui ne sont pas perpendiculaires à \mathbf e_i. Alors, si \mathbf u est un vecteur directeur de la droite d, dans U_1, on a \varphi_1(d)=\frac{u_2}{u_1} et, dans U_2, \varphi_2(d)=\frac{u_1}{u_2}.

Nous avons ensuite introduit dans ce billet une famille de champs de vecteurs fondamentaux(*) sur P^1\mathbf R : \{H^*|H\in sl(2,\mathbf R)\}. En choisissant bien H, nous allons obtenir un champ de vecteurs H^* ne s’annulant nulle part et fournissant donc en chaque point de P^1\mathbf R une base de son espace tangent en ce point. Le champ de vecteurs

\Theta:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^*

fait l’affaire. En effet, comme on le voit facilement à l’aide de formules présentées dans le billet signalé quelques lignes plus haut, les expressions locales de ce champ dans les systèmes de coordonnées canoniques sont

(1) \varphi_{1*}\Theta=1+x^2\quad \& \quad \varphi_{2*}\Theta=-(1+y^2)

Voici la formule annoncée.

\boxed{\varsigma'=\|\gamma'\|\kappa^*\Theta\circ\varsigma}

Elle est très simple à établir en utilisant les coordonnées locales. Je montre comment cela fonctionne dans le premier système canonique. Dans le second, les calculs sont tout à fait similaires.

Posons \gamma(t)=(x_1(t),x_2(t)). Pour rappel, la courbure algébrique est alors donnée par

\kappa^*=\dfrac{x'_1x''_2-x'_2x''_1}{(x'^2_1+x'^2_2)^{3/2}}

De plus, \varphi_1\circ\varsigma=\frac{x'_2}{x'_1}. Par suite,

\varphi_{1*}\varsigma'=(\varphi_1\circ\varsigma)'=\dfrac{x'_1x''_2-x'_2x''_1}{x'^2_1}=\dfrac{(x'^2_1+x'^2_2)^{3/2}}{x'^2_1}\kappa^*

Enfin, vu (1),

\varphi_{1*}\left(\Theta\circ \varsigma\right)=1+\dfrac{x'^2_2}{x'^2_1}=\dfrac{x'^2_1+x'^2_2}{x'^2_1}

D’où la formule annoncée puisque \|\gamma'\|=\sqrt{x'^2_1+x'^2_2}.

Cette formule est particulièrement frappante lorsque t est une abscisse curviligne de \gamma, car alors \|\gamma'\|=1. Ainsi, lorsque (I,\gamma) est rapporté à une abscisse curviligne, sa courbure algébrique en t\in I est la composante du vecteur tangent \varsigma'(t) selon la base \Theta(\varsigma(t)) de l’espace tangent à P^1\mathbf R en \varsigma(t).

Par exemple, si (I,\gamma) est le cercle trigonométrique, i.e. si I=\mathbf R et si, partout dans \mathbf R, \gamma(t)=(\cos t,\sin t), alors la courbure algébrique (qui est l’inverse du rayon de courbure, 1 en l’occurence) est constante et vaut 1. Par conséquent, pour le cercle trigonométrique, (\mathbf R,\varsigma) est une courbe intégrale maximale du champ de vecteurs \Theta de P^1\mathbf R.

Comme le laisse supposer le titre du présent billet, j’ai encore quelques petites choses à raconter à propos de la courbure et de la droite projective réelle mais cela fera l’objet d’un autre billet.

😉

__________
(*) On désigne par sl(2,\mathbf R) l’ensemble des matrices réelles carrées de tailles deux dont la trace est nulle.

Une réaction sur “Courbure et droite projective réelle I

  1. Pingback: Courbure et droite projective réelle II | Blog de Pierre Lecomte

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