Courbure et droite projective réelle II

Ce préambule est un des plus compliqués que j’aie eu à rédiger jusqu’à présent ici. En effet, cet article fait référence à divers autres, ainsi qu’à quelques notions rarement évoquées dans ce blog. Je vous demande donc de faire preuve de la plus grande indulgence en lisant ce qui suit …

Le présent billet fait, naturellement, référence à celui-ci — chronologiquement, celui qui le précéde dans ce blog. Il fait aussi référence, de façon importante, à cet autre et, vers la fin, à ceux-ci : a et b.

Idéalement, pour les notations mais aussi pour certains concepts, il serait judicieux que vous jetiez un coup d’œil attentif à chacun de ces articles car je ne vais guère pouvoir rappeler ici les notations ni les définitions ni les résultats que je vais utiliser.

Le but que je poursuis ici est d’interpréter dans le cadre de la géométrie de la droite projective réelle certaines propriétés des courbes régulières d’un espace affine euclidien orienté de dimension deux et, plus particulièrement, la courbure de celles-ci.

Ayant choisi un repère orthonormé positif du plan où se déploient ces courbes, nous sommes ramenés à \mathbf R^2 muni de la structure standard d’espace euclidien orienté. C’est dans cet espace que nous évoluerons ci-dessous.

La cohomologie de de Rham de la droite projective réelle

Considérons la 1-forme \omega de P^1\mathbf R définie par

\forall d\in P^1\mathbf R,\quad \omega_d(\Theta_d)=1

(Pour rappel, \Theta_d n’étant pas nul, c’est une base de l’espace tangent en d à P^1\mathbf R.) C’est une forme volume de P^1\mathbf R car elle est sans zéros. Ainsi que je l’ai signalé dans un des articles mentionnés plus haut, les expressions locales de \Theta dans les cartes canoniques (U_i,\varphi_i) sont

\varphi_{1*}\Theta=(1+x^2)\dfrac{d}{dx}\quad \& \quad \varphi_{2*}\Theta=-(1+y^2)\dfrac{d}{dy}

Par conséquent, celles de \omega sont

(\varphi_1^{-1})_*\omega=\dfrac{dx}{1+x^2}\quad \& \quad (\varphi_2^{-1})_*\omega=-\dfrac{dy}{1+y^2}

Vu que P^1\mathbf R\setminus U_1 est réduit à un point, nous en déduisons que

\displaystyle\int_{P^1\mathbf R}\omega=\displaystyle\int_\mathbf R(\varphi_1^{-1})_*\omega=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi

La forme \omega n’est donc pas exacte(*) et sa classe de cohomologie est une base du premier espace de cohomologie de de Rham de P^1\mathbf R(**).

Cela noté, dans le premier billet mentionné au début de ce texte, nous avions associé à chaque courbe régulière (I,\gamma) de \mathbf R^2 une courbe (I,\varsigma) de P^1\mathbf R en posant

\forall t\in I,\quad \varsigma(t)=\mathbf R\gamma'(t)

et nous avions établi cette formule : \varsigma'=\kappa^*\|\gamma'\|\Theta\circ\varsigma, où \kappa^* est la courbure algébrique de la courbe (I,\gamma). Elle équivaut à celle-ci que je trouve particulièrement jolie :

(1) \boxed{\displaystyle\omega(\varsigma')=\kappa^*\|\gamma'\|}

« La fonction angle n’existe pas sur la droite projective réelle »

\boxed{\mathrm A} Considérons une droite d\in U_1 et un de ses vecteurs directeurs (u_1,u_2). Le nombre \varphi_1(d)=u_2/u_1 est ce qu’on appelle souvent le coefficient angulaire de d et, si \alpha est une détermination(***) de l’angle orienté entre « l’axe des x » et d, alors \varphi_1(d)=\tan\alpha. Nous choisirons la détermination appartenant à ]-\pi/2,\pi/2[ et nous la noterons \alpha_1(d). Cela nous donne une fonction \alpha_1=\mathrm{arctg} \circ\varphi_1\in C^\infty(U_1,\mathbf R). Avec une interprétation similaire, la seconde carte canonique de P^1\mathbf R nous donne une fonction \alpha_2=\mathrm{arccot} \circ\varphi_2-\pi/2\in C^\infty(U_2,\mathbf R). Elle prend également ses valeurs dans ]-\pi/2,\pi/2[.

Les fonctions \alpha_i sont des primitives de \omega. Plus précisément,

\displaystyle\omega_{|U_1}=d\alpha_1 \quad \& \quad \omega_{|U_2}=d\alpha_2

Cela résulte immédiatement des expressions locales de \omega dans les cartes canoniques que nous avons explicitées plus haut.

\boxed{\mathrm B} Soit une courbe régulière (I,\gamma) de \mathrm R^2 rapportée à une abscisse curviligne. Si t\in I et si \varsigma(t)\in U_i, alors

\kappa^*(t)=\omega(\varsigma'(t))=(d\alpha_i)(\varsigma'(t))=(\alpha_i\circ\varsigma)'(t)

Cela dit,

Il n’existe pas de fonction \alpha\in C^\infty(P^1\mathbf R,\mathbf R) telle que, pour toute courbe régulière (I,\gamma) de \mathrm R^2 rapportée à une abscisse curviligne on ait \kappa^*=(\alpha\circ\varsigma)'.

Supposons au contraire qu’une telle fonction \alpha existe et prenons pour (I,\gamma) le cercle trigonométrique, i.e. la courbe t\mapsto (\cos t,\sin t). La courbure algébrique de celle-ci est constante et vaut 1. On a alors

d\alpha(\varsigma')=(\alpha\circ \varsigma)'=1=\omega(\varsigma')

Comme \varsigma' n’a donc aucun zéros et comme \varsigma(\mathbf R)=P^1\mathbf R, nous déduisons de cela que \omega=d\alpha, une contradiction.

La propriété que nous venons de démontrer contraste avec la propriété classique de la courbure selon laquelle, pour toute courbe (I,\gamma) rapportée à une abscisse curviligne et tout \mathbf u\in \mathbf R^2\setminus\{0\}, \kappa^* admet une primitive \alpha\in C^\infty(I,\mathbf R) telle que, pour tout t\in I, \alpha(t) soit une détermination de l’angle orienté entre \mathbf u et la tangente unitaire \mathbf t(t) de \gamma en t.

Retour sur la frontière des épaissis d’un convexe

Ici, je vous réfère aux billets notés a et b dans le préambule.

J’y avais démontré que, pour u>0, la courbure \kappa_u de la frontière du u-épaissi e_u d’un convexe e s’exprime au moyen de la courbure \kappa de la frontière de e par la formule

\kappa_u=\dfrac{\kappa}{1+u\kappa}

Voici une preuve de cette formule résultant de (1).

Pour rappel, la frontière du u-épaissi d’un convexe e dont la frontière est une courbe régulière (I,\gamma) dont la normale principale \mathbf n pointe vers l’extérieur de e est la courbe (I,\gamma_u) donnée par \gamma_u(t)=\gamma(t)+u\mathbf n. Pour simplifier les notations, j’indicerai par u les grandeurs relatives à \gamma_u(t). On a

\gamma'_u=\gamma'-u\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf t=(1-u\kappa^*)\gamma'

En particulier, \varsigma_u=\varsigma et, vu (1), \kappa^*\|\gamma'\|=\kappa_u^*\|\gamma'_u\|=\kappa_u^*|1-u\kappa^*|\|\gamma'\|.

La formule annoncée résulte alors du fait que \kappa^*\leqslant 0, ce qui implique que 1-u\kappa^*>0 et \kappa=-\kappa^*, \kappa_u=-\kappa_u^*.

Courbure et rayon de courbure : deux avatars d’un même objet

Cette dernière section est une ébauche. Je n’ai pas encore toutes les clés du phénomène que je vais y décrire.

\boxed{A} Le rayon de courbure \varrho et la de courbure \kappa d’une courbe (I,\gamma) sont liés par la relation \varrho\kappa=1. Ce sont donc les coordonnées dans les deux cartes canoniques d’un élément de P^1\mathbf R, à savoir

\mathfrak k=\varphi_1^{-1}(\kappa)=\varphi_2^{-1}(\rho)

D’une certaine façon, \mathfrak k rend mieux compte de ce qu’il se passe que \kappa et \varrho car lorsque l’un d’eux est nul l’autre n’existe pas ou « est infini », ce que le passage au projectif prend bien en charge.

Introduisons une fonction \varpi:TP^1\mathbf R\to P^1\mathbf R en posant \varpi=\varphi_1^{-1}\circ\omega. Il vient alors, pour toute courbe (I,\gamma) rapportée à une abscisse curviligne,

\displaystyle\boxed{\varpi(\varsigma')=\mathfrak k}

\boxed{B} Dans les conditions de la section précédente la fonction u\in]0,+\infty[\mapsto \frac{\kappa}{1+u\kappa}\in\mathbf R est une solution de l’équation différentielle x'+x^2=0. Or il se fait que l’expression locale dans la carte (U_1,\varphi_1) du champ de vecteurs

\Xi=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}^*

de P^1\mathbf R (voir la seconde référence citée dans le préambule pour la définition des champs de vecteurs de la forme H^*) est \varphi_{1*}\Xi=-x^2\frac d{dx}. Cela nous montre que la courbe u\in]0,+\infty[\mapsto \mathfrak k_u\in P^1\mathbf R est une courbe intégrale de \Xi.

Ce fait étrange est lié à une propriété des épaissis des convexes, établie dans l’article désigné par a ci-dessus : pour tous u,v>0, on a (e_u)_v=e_{u+v}.

__________
(*) Notez que, à cause de la dimension de P^1\mathbf R, ses 1-formes sont fermées.
(**) La droite projective P^1\mathbf R étant de dimension 1, sa cohomologie de de Rham (à coefficients réels) se réduit à deux termes :

H^*(P^1\mathbf R,\mathbf R)=H^0(P^1\mathbf R,\mathbf R)\oplus H^1(P^1\mathbf R,\mathbf R)

Il se fait que H^1(P^1\mathbf R,\mathbf R) est de dimension 1 (l’autre terme aussi, mais c’est trivial — peu importe).
(***) L’angle orienté entre deux droites est la classe modulo \pi de l’angle orienté entre un vecteur directeur de la première et un vecteur directeur de la seconde.

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