Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes I

Je vais présenter dans ce blog une démonstration du théorème de structure de l’ensemble des solutions des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes. J’y consacrerai deux billets.

Il y a des livres entiers consacrés à ces équations. Néanmoins, je trouve utile (pour moi) de consigner ici ce résultats bien connu ainsi qu’une démonstration de celui-ci.

Par ailleurs, je vais me limiter aux équations à coefficients complexes. A mon avis la méthode de démonstration utilisée s’adapte à des cas bien plus généraux (on pourrait certainement l’adapter sans problèmes à un corps de caractéristique nulle algébriquement clos) mais je ne vais pas discuter de la chose, cela d’autant plus que je ne connais sans doute pas assez d’algèbre pour pouvoir le faire de façon optimale.

Nous considérons une équation de récurrence linéaire à coefficients constants

(1) $\forall k\in \mathbf N,\quad a_0x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1}x_{k+1}+a_nx_k=0$

avec $a_0\neq 0$ et $a_n\neq 0$ .

Par linéarité de l’équation, toute combinaison linéaire de solutions est encore une solution : l’ensemble $\mathscr S$ des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de l’espace $\mathbf C^\mathbf N$ .

De plus, l’équation montre que chaque terme de rang au moins $n$ d’une solution est univoquement déterminé par les $n$ précédents (car $a_0\neq 0$ ). Seuls les $n$ premiers ne sont pas déterminés par l’équation mais si on se donne des valeurs $u=(u_0,\ldots,u_{n-1})\in\mathbf C^n$ on peut construire de proche en proche une unique solution $s(u)$ de l’équation dont ce sont les $n$ premiers termes. L’application $s:\mathbf C^n\to\mathscr S$ est manifestement une bijection linéaire. Ainsi,

a) L’ensemble $\mathscr S$ des solutions de l’équation (1) est un sous-espace vectoriel de dimension $n$ de $\mathbf C^\mathbf N$

Le théorème de structure des solutions de l’équation auquel je pense consiste à fournir une base privilégiée de $\mathcal S$ . Il utilise le polynôme caractéristique

$\chi(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n$

de l’équation. On obtient formellement ce polynôme en remplaçant dans le membre de gauche de l’équation $x_j$ par $t^{j-k}$ .

Nous noterons $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ les zéros distincts de $\chi$ et $m_1,\ldots,m_p$ leurs multiplicités respectives (on a donc $m_1+\cdots+m_p=n$ ). Voici alors le théorème

b) Les $n$ suites $u^{(i,r)}:k\mapsto k^r\alpha_i^k,\quad i\in\{1,\ldots,p\}, \quad 0\leqslant r<m_i,$ forment une bases de $\mathscr S$ .

Pour prouver b), nous allons montrer que les suites en question sont des solutions de l’équation et qu’elles sont linéairement indépendantes. Cela suffit car le fait qu’elles forment une base de $\mathscr S$ résulte alors de ce qu’elles sont en nombre égal à sa dimension.

C’est dans ce billet que nous allons faire les vérifications en question.

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