Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes II

Voici la suite de ce billet. Nous conservons ses notations.

Nous commencerons par vérifier que les suites u^{(i,r)}:k\mapsto k^r\alpha_i^k,\quad i\in\{1,\ldots,p\}, \quad 0\leqslant r<m_i, sont des solutions de l'équation

\forall k\in \mathbf N,\quad a_0x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1}x_{k+1}+a_nx_k=0

Les nombres \alpha_1,\ldots,\alpha_p sont les zéros distincts de son polynôme caractéristique

\chi(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n

et m_1,\ldots,m_p sont leurs multiplicités respectives. Pour rappel, on suppose que a_0,a_n\neq 0.

Nous allons utiliser l’application linéaire T:\mathbf C^\mathbf N\to \mathbf C^\mathbf N consistant à décaler les suites « d’un cran vers la gauche » : T(\mathbf x)_k=\mathbf x_{k+1}. Avec celle-ci, l’équation se réécrit (I désigne l’application identité)

(\underbrace{a_0T^n+a_1T^{n-1}+\cdots+a_{n-1}T+a_nI}_{=\chi(T)})(\mathbf x)=0

Autrement dit, l’espace des solutions de l’équation est le noyau de \chi(T) : \mathcal S=\ker \chi(T).

On a

\chi(T)=a_0(T-\alpha_1I)^{m_1}\cdots(T-\alpha_pI)^{m_p}

Il suffit donc de montrer que

\forall i\in\{1,\ldots,p\}, \forall r\in\{0,\ldots,m_i-1\}, \quad u^{(i,r)}\in\ker(T-\alpha_iI)^{r+1}

pour montrer que les suites u^{(i,r)} sont des solutions.

Pour une valeur donnée de i, on procède par récurrence sur r.

Il est trivial que (T-\alpha_iI)u^{(i,0)}=0.

Supposons alors que (T-\alpha_iI)^1u^{(i,0)}=\cdots=(T-\alpha_iI)^ru^{(i,r-1)}=0 et montrons que (T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)} est nul également.

On a

\left((T-\alpha_iI)u^{(i,r)}\right)_k=u^{(i,r)}_{k+1}-\alpha_iu^{(i,r)}_k=[(k+1)^r-k^r]\alpha_i^{k+1}

Par conséquent, (T-\alpha_iI)u^{(i,r)} est une combinaison linéaire des suites u^{(i,0)},\ldots,u^{(i,r-1)}. Vu l’hypothèse de récurrence, on a donc (T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)} =0.

Les suites u^{(i,r)} sont donc bien des solutions de l’équation.

Pour terminer, nous allons montrer que les suites u^{(i,r)} sont linéairement indépendantes. Cela achèvera la démonstration du théorème de structure présenté dans le billet cité plus haut.

Allons-y! Les polynômes

\displaystyle \chi_j=\prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^p(t-\alpha_i)^{m_i}, j\in\{1,\ldots,p\}

sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe des polynômes \varrho_j tels que \varrho_1\chi_1+\cdots+\varrho_p\chi_p=1 et donc tels que

(1) \varrho_1(T)\chi_1(T)+\cdots+\varrho_p(T)\chi_p(T)=I

Notons que, si i\neq j, alors \chi_j(T)u^{(i,r)}=0. En effet, si i\neq j, alors (T-\alpha_iI)^{m_i} est un facteur de \chi_j(T) et on a vu plus haut que ce facteur annule u^{(i,r)}. En appliquant les deux membres de la relation (1) à u^{(i,r)}, nous obtenons dès lors

(2) \varrho_i(T)\chi_i(T)u^{(i,r)}=u^{(i,r)}

Nous sommes prêts pour établir l’indépendance linéaire des u^{(i,r)}.

Supposons que

\displaystyle \sum_{j=1}^p\sum_{r=0}^{m_j-1}c_{j,r}u^{(j,r)}=0

et choisissons un indice quelconque i compris entre 1 et p. Appliquons \varrho_i(T)\chi_i(T) aux deux membres de cette relation. Cela nous donne, vu (2), \sum_{r=0}^{m_i-1}c_{i,r}u^{(i,r)}=0 soit

\forall k\in\mathbf N, \quad \left(c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}\right)\alpha_i^k=0

Mais \alpha_i\neq 0 car a_n=\chi(0)\neq 0. Par conséquent

\forall k\in\mathbf N, \quad c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}=0

ce qui montre que c_{i,0}=c_{i,1}=\cdots=c_{i,m_i-1}=0.

D’où la conclusion puisque i\in\{1,\ldots,p\} est quelconque.

😉

3 réactions sur “Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes II

  1. Pingback: Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes I | Blog de Pierre Lecomte

  2. Bonjour Pierre,
    Une question dans ta démonstration : pourquoi dis-tu qu’au vu de (2), tu obtiens que la somme sur $i$ des $c_{i,r}u^{(i,r)}$ constitue la suite nulle ? Quel est le détail de ton calcul ?
    Merci pour ton blog très intéressant 😉
    Thomas

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