Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes II

Voici la suite de ce billet. Nous conservons ses notations.

Nous commencerons par vérifier que les suites $u^{(i,r)}:k\mapsto k^r\alpha_i^k,\quad i\in\{1,\ldots,p\}, \quad 0\leqslant r<m_i,$ sont des solutions de l'équation

$\forall k\in \mathbf N,\quad a_0x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1}x_{k+1}+a_nx_k=0$

Les nombres $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ sont les zéros distincts de son polynôme caractéristique

$\chi(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n$

et $m_1,\ldots,m_p$ sont leurs multiplicités respectives. Pour rappel, on suppose que $a_0,a_n\neq 0$ .

Nous allons utiliser l’application linéaire $T:\mathbf C^\mathbf N\to \mathbf C^\mathbf N$ consistant à décaler les suites « d’un cran vers la gauche » : $T(\mathbf x)_k=\mathbf x_{k+1}$ . Avec celle-ci, l’équation se réécrit ( $I$ désigne l’application identité)

$(\underbrace{a_0T^n+a_1T^{n-1}+\cdots+a_{n-1}T+a_nI}_{=\chi(T)})(\mathbf x)=0$

Autrement dit, l’espace des solutions de l’équation est le noyau de $\chi(T)$ : $\mathcal S=\ker \chi(T)$ .

On a

$\chi(T)=a_0(T-\alpha_1I)^{m_1}\cdots(T-\alpha_pI)^{m_p}$

Il suffit donc de montrer que

$\forall i\in\{1,\ldots,p\}, \forall r\in\{0,\ldots,m_i-1\}, \quad u^{(i,r)}\in\ker(T-\alpha_iI)^{r+1}$

pour montrer que les suites $u^{(i,r)}$ sont des solutions.

Pour une valeur donnée de $i$ , on procède par récurrence sur $r$ .

Il est trivial que $(T-\alpha_iI)u^{(i,0)}=0$ .

Supposons alors que $(T-\alpha_iI)^1u^{(i,0)}=\cdots=(T-\alpha_iI)^ru^{(i,r-1)}=0$ et montrons que $(T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)}$ est nul également.

On a

$\left((T-\alpha_iI)u^{(i,r)}\right)_k=u^{(i,r)}_{k+1}-\alpha_iu^{(i,r)}_k=[(k+1)^r-k^r]\alpha_i^{k+1}$

Par conséquent, $(T-\alpha_iI)u^{(i,r)}$ est une combinaison linéaire des suites $u^{(i,0)},\ldots,u^{(i,r-1)}$ . Vu l’hypothèse de récurrence, on a donc $(T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)} =0$ .

Les suites $u^{(i,r)}$ sont donc bien des solutions de l’équation.

Pour terminer, nous allons montrer que les suites $u^{(i,r)}$ sont linéairement indépendantes. Cela achèvera la démonstration du théorème de structure présenté dans le billet cité plus haut.

Allons-y! Les polynômes

$\displaystyle \chi_j=\prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^p(t-\alpha_i)^{m_i}, j\in\{1,\ldots,p\}$

sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe des polynômes $\varrho_j$ tels que $\varrho_1\chi_1+\cdots+\varrho_p\chi_p=1$ et donc tels que

(1) $\varrho_1(T)\chi_1(T)+\cdots+\varrho_p(T)\chi_p(T)=I$

Notons que, si $i\neq j$ , alors $\chi_j(T)u^{(i,r)}=0$ . En effet, si $i\neq j$ , alors $(T-\alpha_iI)^{m_i}$ est un facteur de $\chi_j(T)$ et on a vu plus haut que ce facteur annule $u^{(i,r)}$ . En appliquant les deux membres de la relation (1) à $u^{(i,r)}$ , nous obtenons dès lors

(2) $\varrho_i(T)\chi_i(T)u^{(i,r)}=u^{(i,r)}$

Nous sommes prêts pour établir l’indépendance linéaire des $u^{(i,r)}$ .

Supposons que

$\displaystyle \sum_{j=1}^p\sum_{r=0}^{m_j-1}c_{j,r}u^{(j,r)}=0$

et choisissons un indice quelconque $i$ compris entre $1$ et $p$ . Appliquons $\varrho_i(T)\chi_i(T)$ aux deux membres de cette relation. Cela nous donne, vu (2), $\sum_{r=0}^{m_i-1}c_{i,r}u^{(i,r)}=0$ soit

$\forall k\in\mathbf N, \quad \left(c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}\right)\alpha_i^k=0$

Mais $\alpha_i\neq 0$ car $a_n=\chi(0)\neq 0$ . Par conséquent

$\forall k\in\mathbf N, \quad c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}=0$

ce qui montre que $c_{i,0}=c_{i,1}=\cdots=c_{i,m_i-1}=0$ .

D’où la conclusion puisque $i\in\{1,\ldots,p\}$ est quelconque.

😉

3 réactions sur “Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes II”

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Thomas dit :

26 août 2019 à 2:37

Bonjour Pierre,
Une question dans ta démonstration : pourquoi dis-tu qu’au vu de (2), tu obtiens que la somme sur $i$ des $c_{i,r}u^{(i,r)}$ constitue la suite nulle ? Quel est le détail de ton calcul ?
Merci pour ton blog très intéressant 😉
Thomas

Réponse
- Pierre Lecomte dit :
  
  27 août 2019 à 8:00
  
  En fait, il faut aussi tenir compte de ce que $\xi_j(T)u^{(i,r)}$ est nul si $i\neq j$ . Est-ce plus clair avec cette remarque?
  
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