Une remarque à propos de certaines séries de puissances II

Nous avons vu dans l’article Une remarque à propos de certaines séries de puissances I que, pour chaque r\in\mathbf N, il existe un seul polynôme \xi_r\in\mathbf K[t] nul en zéro, de degré r+1 et tel que(*)

\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k^rx^k=\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right)

La suite r\mapsto \xi_r est déterminée univoquement par la relation de récurrence

(1) \forall r\in\mathbf N,\quad \xi_{r+1}=t(t-1)\xi'_r,

assortie de la condition initiale \xi_0=t.

Voici l’allure des graphes de \xi_i, i\in\{1,2,3,4,5,6\}. Ceux de \xi_1,\xi_3,\xi_5 sont représentés dans des tons « rouges » dont l’intensité augmente avec l’indice (\xi_1 est en rose pale et \xi_5 presque en brun). Les graphes de \xi_2,\xi_4,\xi_6 sont dans les tons « bleus », avec la même convention sur l’intensité.

series

Nous allons faire quelques observations à propos des zéros des polynômes \xi_r. Comme on le verra, elles sont très bien illustrées par l’image ci-dessus.

\boxed{A}

Les zéros du polynôme \xi_r sont tous réels et simples; ils appartiennent à [0,1].

— Le seul zéro de \xi_0 est 0 et, pour r>0, 0 est le plus petit zéro de \xi_r et 1 le plus grand.

— Si \alpha_{r,0}=0<\alpha_{r,1}<\cdots<\alpha_{r,r}=1 sont les zéros de \xi_r, alors \forall i\in\{1,\ldots,r\},\quad \alpha_{r,i-1}<\alpha_{r+1,i}<\alpha_{r,i}.

Nous allons établir ces propriétés par récurrence sur r\geqslant 1 (je mets de côté \xi_0. Les affirmations qui le concernent sont triviales).

Pour rappel, \xi_1=t(t-1) et le cas de base est donc réglé.
Supposons alors que les zéros de \xi_r soient comme dans l'énoncé. Alors, d'après le théorème de Rolle, \xi'_r s'annule dans chaque intervalle ]\alpha_{r,i},\alpha_{r,i+1}[, i\in\{0,\ldots, r-1\}. Dès lors, vu (1), \xi_{r+1} s'annule une fois dans chacun de ces intervalles. Comme il s'annule aussi en 0 et 1, il possède r+2 zéros lesquels sont séparés par les \alpha_{r,i}, 0<i<r.

La propriété est donc établie.

\boxed{B}

Pour r>0, les polynômes \xi_{2r} sont tous annulés par \frac 12 et le point (\frac 12,0) est un centre de symétrie de leurs graphes.

— La droite d’équation x=\frac 12 est un axe de symétrie des graphes des polynômes \xi_{2r+1}.

Ces propriétés résultent immédiatement du fait que la parité des polynômes \eta_r\in\mathbf K[s] définis par \eta_r(s)=\xi_r(s+\frac 12) est l’opposée de celle de r. Pour vérifier ceci, observons que, vu (1), les polynômes \eta_r vérifient la relation

\forall r\in\mathbf N,\quad \eta_{r+1}=\left(s^2-\frac 14\right)\eta'_r

Si on se souvient de ce qu’un polynôme f nul en 0 est pair ou impair selon que sa dérivée est respectivement impaire ou paire, alors la propriété immédiatement résulte d’une simple récurrence sur r.

Voilà, c’est tout pour ce billet.

😉

P.S. Les polynômes \xi_r sont calculés ici. P.L. 3/12/2017
__________
(*) Nous prenons \mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\}. Les séries de puissances que nous considérons ont toujours un rayon de convergence strictement positif.

2 réactions sur “Une remarque à propos de certaines séries de puissances II

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