Une petite formule et les éléments de Frenet d’une courbe régulière

Une petite formule

Voici d’abord la « petite formule ». J’expliquerai plus loin à quoi elle va nous servir.

Nous considérons une fonction f de classe C^1 d’un intervalle ouvert I\subset\mathbf R dans \mathbf R^3 ne s’annulant nulle part. Alors

\boxed{\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'=\frac{(f\wedge f')\wedge f}{\|f\|^3}}

et, en conséquence,

\boxed{\left\|\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'\right\|=\frac{\|f\wedge f'\|}{\|f\|^2}}

On désigne ici par \wedge le produit vectoriel associé au produit scalaire et à l’orientation canoniques de \mathbf R^3.

Comme f\wedge f' et f sont orthogonaux, on a \|(f\wedge f')\wedge f\|=\|f\wedge f'\|\|f\| et on obtient alors immédiatement la seconde formule en prenant les normes des deux membres de la première.

Celle-ci s’obtient en appliquant la formule standard donnant la dérivée d’un quotient puis en développant un peu le résultat. En détails, le point centré \cdot représentant le produit scalaire,

\begin{array}{rcl}\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'&=&\frac 1{\|f\|^2}(\|f\|f'-\|f\|'f)\\[2ex]&=&\frac 1{\|f\|^2}\left(\|f\|f'-\frac{f\cdot f'}{\|f\|}f\right)\\[2ex]&=&\frac 1{\|f\|^3}(\|f\|^2f'-(f\cdot f')f)\\[2ex]&=&\frac1{\|f\|^3}(f\wedge f')\wedge f\end{array}

La dernière égalité s’obtient en appliquant la formule du double produit vectoriel tandis que, pour la seconde, on a utilisé la formule

\|f\|'=\cfrac{f\cdot f'}{\|f\|}

que l’on obtient aisément en dérivant les deux membres de \|f\|^2=f\cdot f.

Où allons-nous et pourquoi?

Une des difficultés techniques récurrentes que l’on rencontre lorsqu’on enseigne la théorie élémentaire des courbes de \mathbf R^3 est d’établir les formules donnant le trièdre de Frenet, la courbure et la torsion d’une courbe lorsqu’elle est décrite au moyen d’un paramétrage quelconque et non à l’aide d’une abscisse curviligne.

J’ai emprunté à John Roe(*) ce qu’il appelle lui-même un truc permettant d’obtenir relativement rapidement les formules donnant ces grandeurs mais il s’est avéré à l’usage qu’il était assez difficile à utiliser pédagogiquement : passablement artificiel, il me fallait régulièrement le réétudier avant d’aller donner cours et, visiblement, les étudiants ne l’appréciaient pas trop ayant eux mêmes des difficultés à le mémoriser efficacement.

Récemment, je me suis penché à nouveau sur la question et je suis parvenu à obtenir une méthode directe, facile à mettre en œuvre, aisée à mémoriser et suffisamment naturelle pour ne pas rebuter les étudiants lesquels, tout comme moi-même, n’aiment pas trop les deus ex machina. Pour surprenant que cela puisse paraitre, c’est la première formule prouvée plus haut qui, d’une certaine façon, est la clé de la simplicité de ces calculs. Elle et son corollaire interviennent à plusieurs reprises et l’avoir préalablement établie allège sensiblement la présentation de ceux-ci.

Je vais vous montrer comment cela fonctionne après avoir rappelé un minimum de choses à propos du trièdre de Frenet, de la courbure et de la torsion.

Rappels

a) Pour une courbe(**) (J,\eta) de \mathbf R^3 rapportée à une abscisse curviligne, les équations de Frenet s’écrivent

\begin{cases}\mathbf t'=\kappa\mathbf n\\ \mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b\\\mathbf b'=-\tau\mathbf n\end{cases}

\mathbf t, \mathbf n et \mathbf b sont la tangente unitaire, la normale principale et la binormale de la courbe. Les fonctions \kappa et \tau sont la courbure, supposée sans zéros, et la torsion de cette courbe; la base orthonormée positive (\mathbf t,\mathbf n,\mathbf b) de \mathbf R^3 est communément appelée trièdre de Frenet de \eta (au point de J où toutes ces fonctions sont évaluées).

En fait, \mathbf t=\eta' et la première équation de Frenet condense, en quelque sorte, les définitions de \kappa=\|\mathbf t'\| et de \mathbf n=\mathbf t'/\|\mathbf t'\|. La binormale est alors simplement le produit vectoriel \mathbf t\wedge \mathbf n.

Le fait que l’argument de \eta soit une abscisse curviligne rend particulièrement simples et naturelles les définitions de son trièdre de Frenet, de sa courbure et de sa torsion. Pour une courbe dont l’argument n’est pas de la même nature, les définitions de ces éléments sont un peu plus compliquées. Nous allons voir de quoi il retourne au paragraphe suivant.

b) Une courbe (I,\gamma) régulière, c’est-à-dire dont le vecteur tangent n’a pas de zéros, est équivalente à un paramétrage rapporté à une abscisse curviligne (J,\eta) de même orientation : il existe un changement de paramètre u: I\to J tel que \gamma=\eta\circ u.

Alors, par définition, les tangente unitaire, normale principale etc. de \gamma sont celles de \eta calculées en u. Par exemple(***), la courbure \kappa_\gamma de \gamma est \kappa_\eta\circ u. Semblablement, \mathbf t_\gamma=\mathbf t_\eta\circ u, etc.

Naturellement, il faut vérifier que ces notions sont indépendantes du paramétrage naturel (J,\eta) auxiliaire choisi pour les introduire. En fait, cela résulte de ce qu’elles s’expriment toutes par des formules utilisant exclusivement \gamma et ses dérivées.

C’est précisément à l’obtention de ces formules qu’est consacré le reste de ce billet.

La tangente unitaire

En dérivant la relation \gamma=\eta\circ u à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées, il vient \gamma'=u'\ \eta'\circ u=u'\mathbf t_\gamma. Puisque les deux courbes ont la même orientation, \gamma' et \eta'\circ u ont même sens. Ainsi u' est strictement positif et, compte tenu de ce que \eta'\circ u est normé, il vient u'=\|\gamma'\|. De là

\boxed{\mathbf t_\gamma=\cfrac{\gamma'}{\|\gamma'\|}}

La courbure et la normale principale

En dérivant l’égalité \mathbf t_\gamma=\mathbf t_\eta\circ u, on obtient \mathbf t_\gamma'=\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u puis

\|\mathbf t_\gamma'\|=\|\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u\|=\|\gamma'\|\kappa_\eta\circ u=\|\gamma'\|\kappa_\gamma

De là, en appliquant la conséquence de la « petite formule »,

\boxed{\kappa_\gamma=\cfrac{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}}

Pour aller plus loin, nous devons supposer que la courbure de \eta, et donc celle de \gamma, soit sans zéros. C’est en effet à cette condition que le trièdre de Frenet et la torsion existent. Pour le reste de ce billet, nous supposons donc que les deux vecteurs \gamma' et \gamma'' sont partout linéairement indépendants.

Dans ces conditions, d’après la première équation de Frenet et les définitions données plus haut,

\mathbf t_\gamma'=\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u=\|\gamma'\|\kappa_\gamma\mathbf n_\gamma

Ainsi, vu la « petite formule » et l’expression de \kappa_\gamma que nous venons de trouver,

\boxed{n_\gamma=\cfrac{(\gamma'\wedge\gamma'')\wedge\gamma'}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|}}

La binormale et la torsion

Vu les définitions,

\mathbf b_\gamma=\mathbf b_\eta\circ u=(\mathbf t_\eta\circ u)\wedge(\mathbf n_\eta\circ u)=\mathbf t_\gamma\wedge\mathbf n_\gamma

Avec les formules déjà obtenues et la formule du double produit vectoriel(****), il vient

\mathbf t_\gamma\wedge\mathbf n_\gamma=\cfrac{\gamma'\wedge((\gamma'\wedge\gamma'')\wedge\gamma')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|^2}=\cfrac{\|\gamma'\|^2\gamma'\wedge\gamma''-(\gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma''))\gamma'}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|^2}

Dès lors, puisque \gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma'') est nul,

\boxed{\mathbf b_\gamma=\cfrac{\gamma'\wedge\gamma''}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}}

Pour calculer la torsion de \gamma, nous allons dériver \mathbf b_\gamma et nous utiliserons la troisième équation de Frenet. On a

\mathbf b_\gamma'=(\mathbf b_\eta\circ u)'=\|\gamma'\|\mathbf b_\eta'\circ u=-\|\gamma'\|\tau_\gamma\mathbf n_\gamma

D’après la « petite formule » appliquée à f=\gamma'\wedge\gamma'', dont la dérivée est \gamma'\wedge\gamma''',

\begin{array}{rcl}\mathbf b_\gamma'&=&\cfrac{((\gamma'\wedge\gamma'')\wedge(\gamma'\wedge\gamma'''))\wedge(\gamma'\wedge\gamma'')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^3}\\[2ex]&=&\cfrac{[\gamma',\gamma'',\gamma''']}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^3}\ \gamma'\wedge(\gamma'\wedge\gamma'')\end{array}

[-,-,-] désigne le produit mixte (-\wedge -)\cdot - de \mathbf R^3. Pour obtenir la seconde égalité, on a appliqué la formule du double produit vectoriel à (\gamma'\wedge\gamma'')\wedge(\gamma'\wedge\gamma''') vu comme produit des trois facteurs \gamma'\wedge\gamma'',\gamma' et \gamma''' et, comme plus haut, on a tenu compte de ce que \gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma'') est nul.

Il résulte alors immédiatement de la formule obtenue ci-dessus pour \mathbf n_\gamma que

\boxed{\tau_\gamma=\cfrac{[\gamma',\gamma'',\gamma''']}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^2}}

__________
(*) John Roe : Elementary Geometry, Oxford University Press, 1993 — un magnifique livre!
(**) Suivant en cela C. G. Gibson : Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, 2001 (également un très beau livre), j’appelle courbe ou paramétrage (de \mathbf R^3 pour ce qui nous concerne ici) une application différentiable \eta : J\to \mathbf R^3, où J est un intervalle ouvert de \mathbf R. Il ne s’agit donc pas d’un ensemble de points; l’ensemble de point auquel on se serait peut-être attendu est l’image \eta(J) de \eta. Il est appelé trace de \eta par Gibson. Géométriquement, c’est cette trace qui est significative, aussi introduit-on la notion d’équivalence de paramétrages : deux paramétrages de même trace (J,\eta) et (I,\gamma) sont dits équivalents s’il existe un changement de variable régulier u: I\to J tel que \gamma=\eta\circ u.
(***) Pour préciser de quelle courbe on calcule la grandeur X, on indice si nécessaire celle-ci par le nom de la courbe : X_\gamma, X_\eta etc.
(****) Les trois facteurs sont \gamma',\gamma'\wedge\gamma'' et \gamma'.

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