Coordonnées barycentriques et aires orientées

Dans ce billet, j’ai signalé que les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont données par certains rapports d’aires orientées mais je n’ai pas démontré ces formules. Or, il se fait qu’avec la notion de forme volume(*), elles sont immédiates à établir, ce que nous allons voir dans le présent article.

Le contexte est celui-ci : \mathscr E est un plan affine dirigé par un plan vectoriel E muni d’une forme volume \omega.

Par exemple, \mathscr E est un plan affine euclidien orienté. En effet, comme rappelé dans la référence b mentionnée en bas de page, le produit scalaire et l’orientation de E induisent canoniquement une forme volume sur E, à savoir le produit mixte(**).

La forme volume \omega permet de définir une notion d’aire aire orientée. Pour un triangle XYZ, c’est le nombre

\mathscr A_{XYZ}=\frac 12\omega(\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ})

Cela étant,

Les coordonnées barycentriques (\alpha, \beta, \gamma) d’un point P par rapport à un triangle ABC sont les rapports

\alpha = \dfrac{\mathscr{A}_{PBC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \beta = \dfrac{\mathscr{A}_{APC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \gamma = \dfrac{\mathscr{A}_{ABP}}{\mathscr{A}_{ABC}}

En effet, puisque

P=\alpha A+\beta B+\gamma C

il vient

2\mathscr A_{APC}=\omega(\beta\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})=\beta\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\beta\mathscr{A}_{ABC}

De la même façon, on obtient immédiatement \mathscr A_{ABP}=\gamma\mathscr A_{ABC}. Pour la troisième égalité, il faut travailler un petit peu plus :

\begin{array}{rcl}2\mathscr A_{PBC}&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC})\\[1ex]&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\omega(\alpha\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\\[1ex]&=&2\alpha\mathscr{A}_{ABC}\end{array}

Voilà, c’est tout pour ce billet. 😉

__________
(*) Avant de poursuivre, il est peut-être utile de jeter un coup d’œil aux billets que voici : a et b afin de se rafraichir la mémoire à propos des formes volumes sur un espace vectoriel de dimension deux. La notion de forme volume apparaît également ici.
(**) C’est le plus souvent dans ce cas particulier que l’aire orientée est considérée, sans référence explicite à une forme volume. C’est sans doute dommage vu l’efficacité du concept (et le fait qu’il s’agit d’un cas particulier d’une notion extrêmement générale singulièrement utile en géométrie différentielle). Cela dit, deux formes volumes d’un espace vectoriel sont toujours proportionnelles; les quotients apparaissant dans l’énoncé sont donc indépendants de la forme volume \omega, comme de juste.

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