Dans ce billet, j’ai signalé que les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont données par certains rapports d’aires orientées mais je n’ai pas démontré ces formules. Or, il se fait qu’avec la notion de forme volume(*), elles sont immédiates à établir, ce que nous allons voir dans le présent article.
Le contexte est celui-ci : 
Par exemple,
La forme volume 
Cela étant,
Les coordonnées barycentriques
d’un point
par rapport à un triangle
sont les rapports
En effet, puisque
il vient
De la même façon, on obtient immédiatement 
![\begin{array}{rcl}2\mathscr A_{PBC}&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC})\\[1ex]&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\omega(\alpha\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\\[1ex]&=&2\alpha\mathscr{A}_{ABC}\end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D2%5Cmathscr+A_%7BPBC%7D%26%3D%26%5Comega%28%5Coverrightarrow%7BPB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPC%7D%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%26%5Comega%28%5Coverrightarrow%7BPB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%26%5Comega%28%5Calpha%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Cgamma%5Coverrightarrow%7BCB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%26%5Calpha%5Comega%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%26%5Calpha%5Comega%28%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%29%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%262%5Calpha%5Cmathscr%7BA%7D_%7BABC%7D%5Cend%7Barray%7D&bg=ffffff&fg=323232&s=0&c=20201002)
Voilà, c’est tout pour ce billet. 😉
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(*) Avant de poursuivre, il est peut-être utile de jeter un coup d’œil aux billets que voici : a et b afin de se rafraichir la mémoire à propos des formes volumes sur un espace vectoriel de dimension deux. La notion de forme volume apparaît également ici.
(**) C’est le plus souvent dans ce cas particulier que l’aire orientée est considérée, sans référence explicite à une forme volume. C’est sans doute dommage vu l’efficacité du concept (et le fait qu’il s’agit d’un cas particulier d’une notion extrêmement générale singulièrement utile en géométrie différentielle). Cela dit, deux formes volumes d’un espace vectoriel sont toujours proportionnelles; les quotients apparaissant dans l’énoncé sont donc indépendants de la forme volume
Blog de Pierre Lecomte 