Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire

Quaternions …

Considérons un espace vectoriel réel $E$ de dimension trois, euclidien et orienté. Nous noterons $(\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\cdot\mathbf v$ son produit scalaire et $(\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\wedge\mathbf v$ son produit vectoriel.

L’algèbre $\mathbf H_E$ des quaternions sur $E$ généralise de façon simple celle des quaternions classiques, $\mathbf H$ . C’est l’espace vectoriel $\mathbf R\oplus E$ muni du produit associatif (la vérification est facile par calcul direct)

$(r+\mathbf u,s+\mathbf v)\mapsto (rs-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v)$

En fait, tout comme $\mathbf H$ (que l’on pourrait noter $\mathbf H_{\mathbf R^3}$ ), c’est un corps. L’inverse d’un quaternion non nul $p=r+\mathbf u$ est le quaternion $\overline p/|p|^2$ , où $|p|=\sqrt{r^2+\|u\|^2}$ est le module de $p$ et $\overline p:=r-\mathbf u$ est son conjugué. Remarquons que, tout comme pour les nombres complexes et les quaternions classiques, on a $|p|^2=p\overline p=\overline pp$ .

… et dépendance linéaire

Par définition, des éléments $\mathbf u,\mathbf v$ de $E$ sont linéairement dépendants s’il existe des nombres réels $r$ et $s$ dont l’un au moins n’est pas nul tels que $s\mathbf u+r\mathbf v=0$ .

Nous dirons qu’une égalité de la forme $s\mathbf u+r\mathbf v=0$ est une relation liant $\mathbf u$ et $\mathbf v$ et qu’elle est triviale si $r=s=0$ et non triviale sinon.

Curieusement, le fait que deux éléments de $E$ soient linéairement dépendants et les relations, triviales ou non, les liant sont facilement encodés au moyen du produit des quaternions. En effet,

Soient $p=r+\mathbf u$ et $q=s+\mathbf v$ des quaternions sur $E$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes.

a) $pq\in\mathbf R$

b) $\mathbf u$ et $\mathbf v$ sont linéairement dépendants et $s\mathbf u+r\mathbf v=0$

c) $p\in\mathbf R\overline q\quad \lor \quad q\in\mathbf R\overline p$

Les vérifications sont faciles. Voici un exemple d’une façon de faire.

$\boxed{\mathrm{a)}\Longrightarrow \mathrm{b)}}$

Cette implication est assez évidente. Si a) est vrai, alors, d’après la définition du produit de quaternions, on a

(1) $r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v=0$

En multipliant les deux membres de cette égalité scalairement par $\mathbf u\wedge\mathbf v$ , on obtient $\|\mathbf u\wedge\mathbf v\|^2=0$ . Ainsi, $\mathbf u\wedge\mathbf v$ est nul, ce qui signifie que $\mathbf u$ et $\mathbf v$ sont linéairement dépendants. De plus, il résulte alors de (1) que $r\mathbf v+s\mathbf u=0$ .

$\boxed{\mathrm{b)}\Longrightarrow \mathrm{c)}}$

Pour cette implication, il faut travailler un tout petit peu plus. Nous supposons b) vrai et nous discutons sur $\mathbf u$ et $\mathbf v$ .

i) S’ils sont nuls alors $p$ et $q$ sont réels, donc égaux à leurs propres conjugués. Dès lors, si $r$ n’est pas nul, alors

$q=\dfrac srp\in\mathbf R\overline p$

sinon, on a

$p=0q\in\mathbf R\overline q$

ii) Si $\mathbf u$ ou $\mathbf v$ n’est pas nul, alors l’un est un multiple réel de l’autre. Supposons par exemple que $\mathbf v=a\mathbf u$ , où $a\in\mathbf R$ . La relation $r\mathbf v+s\mathbf u=0$ donne alors $(s+ra)\mathbf u=0$ et, donc, $s+ra=0$ puisque $\mathbf u$ n’est pas nul. Ainsi $s=-ar$ et

$q=s+\mathbf v=-a(r-\mathbf u)\in\mathbf R\overline p$

Semblablement, si c’est $\mathbf u$ qui est un multiple réel de $\mathbf v$ , alors $p\in\mathbf R\overline q$ .

$\boxed{\mathrm{c)}\Longrightarrow \mathrm{a)}}$

Cette implication est également presqu’évidente. Par exemple, si $p\in\mathbf R\overline q$ , alors il existe un nombre réel $a$ tel que $p=a\overline q$ de sorte que $pq=a\overline qq=a\|q\|^2\in\mathbf R$ .

Voilà, ce billet s’achève tout doucement. Je pense que l’on pourrait aller plus loin et obtenir des renseignements intéressants sur les couples d’éléments de $E$ linéairement dépendants. J’ai le sentiment que ceci est lié à cette question. Je vais encore réfléchir à tout cela et lever la plume ici.

😉

3 réactions sur “Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire”

Thierry dit :

28 août 2018 à 9:14

Bonjour Pierre et merci pour ce billet. Je ne vois pas bien quelle est la différence entre ces « quaternions sur E » et les quaternions habituels (ceux d’Hamilton). Cette algèbre n’est-elle pas isomorphe à celle des quaternions?

Réponse
Pierre Lecomte dit :

29 août 2018 à 4:36

Bonjour Thierry. Heureux de te voir sur mon blog! Si, tu as tout à fait raison, les deux algèbres sont isomorphes. Il suffit de prendre une base orthonormée positive de $E$ pour construire explicitement un isomorphisme (donné par le passage aux composantes). Parler de généralisation est plutôt une sorte de « précaution oratoire » de ma part. Cela dit, je trouve utile de formuler les choses intrinsèquement, à propos d’espaces vectoriels « abstraits » et de ne pas toujours se ramener aux espaces $\mathbf R^n$ , auxquels ils sont pourtant également isomorphes.

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