Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire

Quaternions …

Considérons un espace vectoriel réel E de dimension trois, euclidien et orienté. Nous noterons (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\cdot\mathbf v son produit scalaire et (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\wedge\mathbf v son produit vectoriel.

L’algèbre \mathbf H_E des quaternions sur E généralise de façon simple celle des quaternions classiques, \mathbf H. C’est l’espace vectoriel \mathbf R\oplus E muni du produit associatif (la vérification est facile par calcul direct)

(r+\mathbf u,s+\mathbf v)\mapsto (rs-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v)

En fait, tout comme \mathbf H (que l’on pourrait noter \mathbf H_{\mathbf R^3}), c’est un corps. L’inverse d’un quaternion non nul p=r+\mathbf u est le quaternion \overline p/|p|^2, où |p|=\sqrt{r^2+\|u\|^2} est le module de p et \overline p:=r-\mathbf u est son conjugué. Remarquons que, tout comme pour les nombres complexes et les quaternions classiques, on a |p|^2=p\overline p=\overline pp.

… et dépendance linéaire

Par définition, des éléments \mathbf u,\mathbf v de E sont linéairement dépendants s’il existe des nombres réels r et s dont l’un au moins n’est pas nul tels que s\mathbf u+r\mathbf v=0.

Nous dirons qu’une égalité de la forme s\mathbf u+r\mathbf v=0 est une relation liant \mathbf u et \mathbf v et qu’elle est triviale si r=s=0 et non triviale sinon.

Curieusement, le fait que deux éléments de E soient linéairement dépendants et les relations, triviales ou non, les liant sont facilement encodés au moyen du produit des quaternions. En effet,

Soient p=r+\mathbf u et q=s+\mathbf v des quaternions sur E. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

a) pq\in\mathbf R

b) \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants et s\mathbf u+r\mathbf v=0

c) p\in\mathbf R\overline q\quad \lor \quad q\in\mathbf R\overline p

Les vérifications sont faciles. Voici un exemple d’une façon de faire.

\boxed{\mathrm{a)}\Longrightarrow \mathrm{b)}}

Cette implication est assez évidente. Si a) est vrai, alors, d’après la définition du produit de quaternions, on a

(1) r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v=0

En multipliant les deux membres de cette égalité scalairement par \mathbf u\wedge\mathbf v, on obtient \|\mathbf u\wedge\mathbf v\|^2=0. Ainsi, \mathbf u\wedge\mathbf v est nul, ce qui signifie que \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants. De plus, il résulte alors de (1) que r\mathbf v+s\mathbf u=0.

\boxed{\mathrm{b)}\Longrightarrow \mathrm{c)}}

Pour cette implication, il faut travailler un tout petit peu plus. Nous supposons b) vrai et nous discutons sur \mathbf u et \mathbf v.

i) S’ils sont nuls alors p et q sont réels, donc égaux à leurs propres conjugués. Dès lors, si r n’est pas nul, alors

q=\dfrac srp\in\mathbf R\overline p

sinon, on a

p=0q\in\mathbf R\overline q

ii) Si \mathbf u ou \mathbf v n’est pas nul, alors l’un est un multiple réel de l’autre. Supposons par exemple que \mathbf v=a\mathbf u, où a\in\mathbf R. La relation r\mathbf v+s\mathbf u=0 donne alors (s+ra)\mathbf u=0 et, donc, s+ra=0 puisque \mathbf u n’est pas nul. Ainsi s=-ar et

q=s+\mathbf v=-a(r-\mathbf u)\in\mathbf R\overline p

Semblablement, si c’est \mathbf u qui est un multiple réel de \mathbf v, alors p\in\mathbf R\overline q.

\boxed{\mathrm{c)}\Longrightarrow \mathrm{a)}}

Cette implication est également presqu’évidente. Par exemple, si p\in\mathbf R\overline q, alors il existe un nombre réel a tel que p=a\overline q de sorte que pq=a\overline qq=a\|q\|^2\in\mathbf R.

Voilà, ce billet s’achève tout doucement. Je pense que l’on pourrait aller plus loin et obtenir des renseignements intéressants sur les couples d’éléments de E linéairement dépendants. J’ai le sentiment que ceci est lié à cette question. Je vais encore réfléchir à tout cela et lever la plume ici.

😉

3 réactions sur “Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire

  1. Bonjour Pierre et merci pour ce billet. Je ne vois pas bien quelle est la différence entre ces « quaternions sur E » et les quaternions habituels (ceux d’Hamilton). Cette algèbre n’est-elle pas isomorphe à celle des quaternions?

  2. Bonjour Thierry. Heureux de te voir sur mon blog! Si, tu as tout à fait raison, les deux algèbres sont isomorphes. Il suffit de prendre une base orthonormée positive de E pour construire explicitement un isomorphisme (donné par le passage aux composantes). Parler de généralisation est plutôt une sorte de « précaution oratoire » de ma part. Cela dit, je trouve utile de formuler les choses intrinsèquement, à propos d’espaces vectoriels « abstraits » et de ne pas toujours se ramener aux espaces \mathbf R^n, auxquels ils sont pourtant également isomorphes.

  3. Pingback: Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire II | Blog de Pierre Lecomte

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