Quaternions …
Considérons un espace vectoriel réel de dimension trois, euclidien et orienté. Nous noterons
son produit scalaire et
son produit vectoriel.
L’algèbre des quaternions sur
généralise de façon simple celle des quaternions classiques,
. C’est l’espace vectoriel
muni du produit associatif (la vérification est facile par calcul direct)
En fait, tout comme (que l’on pourrait noter
), c’est un corps. L’inverse d’un quaternion non nul
est le quaternion
, où
est le module de
et
est son conjugué. Remarquons que, tout comme pour les nombres complexes et les quaternions classiques, on a
.
… et dépendance linéaire
Par définition, des éléments de
sont linéairement dépendants s’il existe des nombres réels
et
dont l’un au moins n’est pas nul tels que
.
Nous dirons qu’une égalité de la forme est une relation liant
et
et qu’elle est triviale si
et non triviale sinon.
Curieusement, le fait que deux éléments de soient linéairement dépendants et les relations, triviales ou non, les liant sont facilement encodés au moyen du produit des quaternions. En effet,
Soient
et
des quaternions sur
. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
a)
b)
et
sont linéairement dépendants et
c)
Les vérifications sont faciles. Voici un exemple d’une façon de faire.
Cette implication est assez évidente. Si a) est vrai, alors, d’après la définition du produit de quaternions, on a
(1)
En multipliant les deux membres de cette égalité scalairement par , on obtient
. Ainsi,
est nul, ce qui signifie que
et
sont linéairement dépendants. De plus, il résulte alors de (1) que
.
Pour cette implication, il faut travailler un tout petit peu plus. Nous supposons b) vrai et nous discutons sur et
.
i) S’ils sont nuls alors et
sont réels, donc égaux à leurs propres conjugués. Dès lors, si
n’est pas nul, alors
sinon, on a
ii) Si ou
n’est pas nul, alors l’un est un multiple réel de l’autre. Supposons par exemple que
, où
. La relation
donne alors
et, donc,
puisque
n’est pas nul. Ainsi
et
Semblablement, si c’est qui est un multiple réel de
, alors
.
Cette implication est également presqu’évidente. Par exemple, si , alors il existe un nombre réel
tel que
de sorte que
.
Voilà, ce billet s’achève tout doucement. Je pense que l’on pourrait aller plus loin et obtenir des renseignements intéressants sur les couples d’éléments de linéairement dépendants. J’ai le sentiment que ceci est lié à cette question. Je vais encore réfléchir à tout cela et lever la plume ici.
😉
Bonjour Pierre et merci pour ce billet. Je ne vois pas bien quelle est la différence entre ces « quaternions sur E » et les quaternions habituels (ceux d’Hamilton). Cette algèbre n’est-elle pas isomorphe à celle des quaternions?
Bonjour Thierry. Heureux de te voir sur mon blog! Si, tu as tout à fait raison, les deux algèbres sont isomorphes. Il suffit de prendre une base orthonormée positive de
pour construire explicitement un isomorphisme (donné par le passage aux composantes). Parler de généralisation est plutôt une sorte de « précaution oratoire » de ma part. Cela dit, je trouve utile de formuler les choses intrinsèquement, à propos d’espaces vectoriels « abstraits » et de ne pas toujours se ramener aux espaces
, auxquels ils sont pourtant également isomorphes.
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