A propos d’une inégalité … triangulaire

Ce fil du forum « M@TH en Ligne » est à l’origine du présent billet. On y propose de prouver que si \alpha,\beta,\gamma sont les angles d’un triangle, alors

\displaystyle \frac{\sin\alpha-\sin\beta}{\sin\beta+\sin\gamma}+\frac{\sin\beta-\sin\gamma}{\sin\gamma+\sin\alpha}+\frac{\sin\gamma-\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta}<\frac 12

Un participant du forum affirmait savoir le faire, et c’est sans doute aucun le cas, mais il n’a pas donné sa démonstration.

L’inégalité m’a interpellé et j’ai immédiatement songé à la relation des sinus (les notations sont classiques)

\displaystyle \frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c

qui transforme l’inégalité proposée en celle-ci, qui lui est équivalente :

(\star) \displaystyle \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}<\frac 12

pensant que cela mènerait à une piste fertile.

Cela ne m’avait cependant conduit à rien et j’avais rapidement délaissé la question. Il y a quelques jours, je suis tombé à nouveau sur ce problème et je me suis résolu à lui faire la peau, coûte que coûte.

Je présente ci-dessous la démonstration que j’ai enfin obtenue.

Il s’agit donc de vérifier que

(1) \displaystyle \forall (a,b,c)\in\mathfrak O, \quad \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}<\frac 12

\mathfrak O est l’ouvert de \mathbf R^3

\{(x,y,z)\in\mathbf R^3|0<x<y+z,0<y<z+x,0<z<x+y\}

Notons \varpi le plan de \mathbf R^3 d’équation cartésienne x+y+z=1.

Les propositions (1) et

 (2) \displaystyle \forall (a,b,c)\in\mathfrak O\cap\varpi, \quad \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}<\frac 12

sont équivalentes.

En effet, d’une part, (1) implique (2) puisque \mathfrak O\cap\varpi\subset\mathfrak O. Supposons d’autre part que (2) soit vrai. Soit alors (a,b,c)\in\mathfrak O. On a

\displaystyle (a',b',c'):=\left(\frac a{a+b+c},\frac b{a+b+c},\frac a{c+b+c}\right)\in\mathfrak O\cap\varpi

et

\displaystyle \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}= \frac{a'-b'}{b'+c'}+\frac{b'-c'}{c'+a'}+\frac{c'-a'}{a'+b'}<\frac 12

Ainsi, (2) implique (1).

On peut reformuler cette équivalence en disant que l’inégalité (\star) est vraie pour tous les triangles si, et seulement si, elle l’est pour les tous les triangles dont le périmètre vaut 1.

Reformulation

Nous allons montrer que(*)

Les propositions (2) et

 (3) \forall (u,v,w)\in ]\frac 14,\frac 12[^3\cap\varpi, \quad \dfrac vu+\dfrac wv+\dfrac uw < \dfrac 72

sont équivalentes.

On démontre cela à l’aide de l’application

\displaystyle \varphi :(x,y,z)\in\mathbf R^3\mapsto \left(\frac{y+z}2,\frac{z+x}2,\frac{x+y}2\right)\in\mathbf R^3

C’est une bijection linéaire. Elle s’inverse en

(x,y,z)\mapsto (-x+y+z,x-y+z,x+y-z)

Il est facile de voir que si \varphi(a,b,c)=(u,v,w), alors

\displaystyle \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}=\frac vu+\frac wv+\frac uw -3

de sorte que

\displaystyle \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}<\frac 12 \Longleftrightarrow \frac vu+\frac wv+\frac uw<\frac 72

On vérifie également facilement que

\varphi(\mathfrak O)=\{(x,y,z)\in\mathbf R^3|x<y+z<3x,y<z+x<3y,z<x+y<3z\}

et, enfin, que

\varphi(\mathfrak O)\cap\varpi=]\frac 14,\frac 12[^3\cap\varpi

ce qui termine la preuve de l’équivalence de (2) et (3).

Un résultat

Notons \omega le premier octant ouvert \{(x,y,z)\in\mathbf R^3|x,y,z>0\} de \mathbf R^3 et e l’application

\displaystyle (x,y,z)\in\omega\mapsto \frac yx+\frac zy+\frac xz\in\mathbf R

J’affirme que

a) \min_{(x,y,z)\in[\frac 14,\frac 12]^3}e(x,y,z)=3, borne atteinte si, et seulement si, x=y=z

b) \sup_{(x,y,z)\in[\frac 14,\frac 12]^3}e(x,y,z)=\frac 72, borne atteinte si, et seulement si, (x,y,z) est un des sommets du cube [\frac 14,\frac 12]^3 n’appartenant pas à la droite d’équations x=y=z

La fonction e étant continue, ses bornes inférieure et supérieure sur le compact [\frac 14,\frac 12]^3 sont réalisées.

Cela étant, le produit des nombres y/x, z/y,x/z vaut 1. D’après l’inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique, leur somme est supérieure ou égale à 3 et vaut 3 si, et seulement si, x=y=z. D’où a).

Voici alors une preuve de b). Les dérivées partielles de e sont

\displaystyle e'_x= -\frac y{x^2}+\frac 1z, \quad e'_y= -\frac z{y^2}+\frac 1x,\quad e'_z= -\frac x{z^2}+\frac 1y

Les zéros de ces dérivées sont les points de \omega situés sur la droite \mathcal D d’équations x=y=z. Ceux qui appartiennent au cube [\frac 14,\frac 12]^3 sont les points de la diagonale qui joint les sommets (\frac 14,\frac 14,\frac 14) et (\frac 12,\frac 12,\frac 12). Comme e vaut 3 sur ces points, il résulte de ceci que le maximum de e sur ce cube n’est pas atteint à l’intérieur de celui-ci mais bien sur sa frontière.

En fait, la restriction de e à un plan perpendiculaire à un axe de coordonnées ne possède qu’un point stationnaire, à savoir le point de percée de la droite \mathcal D dans ce plan, en lequel e=3. En conséquence, le maximum de e sur le cube [\frac 14,\frac 12]^3 n’est pas atteint non plus en un point de l’intérieur relatif d’une de ses faces mais bien sur une de ses arêtes.

Vu la symétrie circulaire de e en ses arguments, il suffit de vérifier cela pour les plans perpendiculaires à l’axe des z coupant \omega. Fixons donc z dans e. Les dérivées partielles de l’application (x,y)\mapsto e(x,y,z) s’annulent en le seul point (z,z,z). En effet, e'_x=0 si, et seulement si, x^2=yz et e'_y=0 si, et seulement si, y^2=xz. Donc, si les dérivées partielles de cette application s’annulent en (x,y), alors x^3=xyz=y^3, puis x=y=z comme annoncé.

Pour poursuivre, nous allons baptiser les sommets du cube [\frac 14,\frac 12]^3 comme suggéré par le dessin suivant

Les coordonnées des sommets sont reprises dans le tableau suivant, dans lequel on a indiqué les valeurs que e prend en ces points.

\begin{array}{c|c|c}&(x,y,z)&e(x,y,z)\\ \hline A_1&(1/4,1/4,1/4)&3\\ \hline A_2&(1/2,1/2,1/2)&3\\ \hline B_1&(1/2,1/4,1/4)&7/2\\ \hline B_2&(1/4,1/2,1/4)&7/2\\ \hline B_3&(1/4,1/4,1/2)&7/2\\ \hline C_1&(1/4,1/2,1/2)&7/2\\ \hline C_2&(1/2,1/4,1/2)&7/2\\ \hline C_3&(1/2,1/2,1/4)&7/2\end{array}

La diagonale [A_1,A_2] du cube est l’ensemble des points en lesquels e y atteint son minimum.

Cela étant

Les restrictions de e à chaque arête du cube sont des fonctions strictement convexes.

Ces restrictions sont toutes des applications de la forme t\in[\frac 14,\frac12]\mapsto \frac at+bt+c\in\mathbf R où les nombres a,b,c sont strictement positifs. En effet, sur une arête, deux des coordonnées x,y,z sont fixées à \frac 14 ou à \frac 12. Par exemple, sur [B_3,C_2], y=\frac 14, z=\frac 12 et la restriction de e est l’application t\mapsto \frac 1{4t}+2t+2. Il y a en tout quatre fonctions qui apparaissent. En voici l’allure. Les couleurs des tracés correspondent à celles des arêtes du cube représenté ci-dessus.

tracés

Les minima des restrictions aux arêtes bleues et rouges sont atteints en \frac 1{2\sqrt 2} et valent respectivement \sqrt 2+2 et 2\sqrt 2+\frac 12. Le nombre \frac 1{2\sqrt 2} est aussi l’abscisse du point de croisement des courbes orange et verte.

Cela étant, les restrictions de e sont donc strictement convexes puisque la dérivée seconde \frac{2a}{t^3} de t\in]0+\infty[\mapsto \frac at+bt+c\in\mathbf R est strictement positive.

Ainsi, la meilleure borne supérieure de la restriction  de e au cube [\frac 14,\frac 12]^3 est \frac 72 et est atteinte en les sommets B_1,B_2,B_3, C_1,C_2,C_3 : b) est prouvé.

Mais aussi  (3) puisque ]\frac 14,\frac 12[^3\cap\varpi est l’intérieur relatif du triangle B_1B_2B_3. Du coup, nous avons démontré (\star) et résolu le problème posé dans le fil de discussion du forum « M@TH en Ligne » mentionné au tout début de ce billet. Vu a), nous avons également établi que, pour tout triangle de côtés a,b,c,

\displaystyle \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}\geqslant 0

l’égalité ayant lieu exactement pour les triangles équilatéraux.

__________
(*) Je précise les notations : ]\frac 14,\frac 12[^3 est le cube ]\frac 14,\frac 12[\times]\frac 14,\frac 12[\times]\frac 14,\frac 12[.

Votre commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.