Une remarque à propos de certaines séries de puissances III

Publié le 3 décembre 2017 par Pierre Lecomte

Le but de ce billet est de calculer les séries

$\displaystyle \mathscr S_r=\sum_{k=0}^\infty k^rx^k, r\in\mathbf N$

J’en ai parlé ici où j’ai par ailleurs introduit les polynômes $\xi_r\in\mathbf K[t], \mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\},$ dont j’ai présenté quelques propriétés ici.

Ceux-ci sont tels que $\mathscr S_r=\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right)$ et sont univoquement déterminés par le fait qu’ils vérifient

(1) $\forall r\in\mathbf N,\quad \xi_{r+1}=t(t-1)\xi'_r$

et par la condition initiale $\xi_0=t$ . Chaque $\xi_r$ est de degré $r+1$ et s’annule en $0$ .

La série génératrice des $\xi_r$

Il s’agit, par définition, de la série $\displaystyle \xi_\lambda=\sum_{r=0}^\infty\xi_r\lambda^r$ .

Cette série vérifie une certaine équation différentielle et, grâce à celle-ci, nous allons pouvoir la calculer.

En effet, multipliant les deux membres de (1) par $\lambda^{r+1}$ puis en sommant sur $r$ , il vient facilement

$\lambda t(t-1)\xi'_\lambda-\xi_\lambda+t=0,\quad \xi_\lambda(0)=0$

Nous chercherons $\xi_\lambda$ sous la forme $\displaystyle\xi_\lambda=\sum_{k=1}^\infty u_kt^k$ ce qui, injecté dans l’équation différentielle, donne l’équation

$\displaystyle \lambda\sum_{k=2}^\infty(k-1)u_{k-1}t^k-\sum_{k=1}^\infty(\lambda k+1)u^kt^k+t=0$

Formellement(*), ceci équivaut au système

$\begin{cases}\forall k>1,\quad \lambda(k-1)u_{k-1}-(\lambda k+1)u_k=0\\[2ex](\lambda +1)u_1=1\end{cases}$

ce dont on déduit aisément que

$\displaystyle \forall k>0,\quad u_k=(k-1)!\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}$

Ainsi que nous l’avions fait dans le premier billet mentionné au début, posons $\xi_r(t)=\sum_{i=1}^{r+1}a_{r,i}t^i$ . Nous venons de démontrer que

$\displaystyle\boxed{\forall k>0, \quad\sum_{r=k-1}^\infty a_{r,k}\lambda^r=(k-1)!\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}}$

Une formule pour $\ a_{r,k}$

En développant en fractions simples le membre de gauche de l’égalité encadrée, nous allons calculer les coefficients $a_{r,k}$ .

Nous cherchons les éléments $v_i$ de $\mathbf K$ tels que

$\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}=\dfrac{v_1}{\lambda+1}+\dfrac{v_2}{2\lambda+1}+\cdots+\dfrac{v_k}{k\lambda+1}$

C’est facile : comme les zéros du dénominateur de la fraction à décomposer sont simples, il suffit, après avoir chassé les dénominateurs dans cette égalité, d’évaluer les deux membres de l’égalité obtenue en chacun de leurs zéros. On trouve

$\displaystyle\forall i\in\{1,\ldots,k\},\quad v_i=\dfrac{(-1)^{i+1}}{(i-1)!(k-i)!}$

Cela étant, en utilisant la série géométrique $\sum_{r=0}^\infty\lambda^r=\frac{1}{1-\lambda}$ , il vient

$\displaystyle\dfrac{v_1}{\lambda+1}+\dfrac{v_2}{2\lambda+1}+\cdots+\dfrac{v_k}{k\lambda+1}=\sum_{r=0}^\infty\left(\sum_{i=1}^kv_i(-i)^r\right)\lambda^r$

Dès lors

$\displaystyle \boxed{a_{r,k}=(-1)^r\sum_{i=0}^{k-1}{k-1 \choose i}(-1)^i(i+1)^r}$

et, donc,

$\displaystyle \boxed{\mathscr S_r(x)=\sum_{k=0}^\infty k^rx^k=\sum_{i=1}^{r+1}\left((-1)^r\sum_{j=0}^{i-1}{i-1 \choose j}(-1)^j(j+1)^r\right)\frac 1{(1-x)^i}}$

Deux formules remarquables

Dans le premier article cité plus haut, nous avions obtenu ceci :

$\displaystyle a_{r,1}=(-1)^r,\quad a_{r,2}=(-1)^{r+1}2^r+(-1)^r, \quad a_{r,r}=-\frac 12(r+1)!, \quad a_{r,r+1}=r!$

La seconde formule encadrée redonne facilement les deux premières égalités. Par contre, il n’est pas immédiat qu’elle redonne les deux dernières. En comparant celles-ci avec les expressions qu’elle donne de $a_{r,r}$ et de $a_{r,r+1}$ , nous obtenons deux égalités remarquables :

$\displaystyle (-1)^r\sum_{i=1}^r\dfrac{(-1)^ii^r}{(i-1)!(r-i)!}=\dfrac{r(r+1)}2\ \& \ (-1)^{r+1}\sum_{i=1}^{r+1}\frac{(-1)^ii^r}{(i-1)!(r+1-i)!}=1$

Les nombres

$\displaystyle \sum_{i=1}^k\frac{(-1)^{k-i}i^r}{(i-1)!(k-i)!}$

semblent avoir de belles propriétés. Pour l’instant je ne sais rien dire de plus à leur propos. Peut-être une autre fois…

😉

__________
(*) Les calculs sont menés dans le cadre des séries formelles. Leur éventuelle convergence ne sera pas étudiée ici.

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Une remarque à propos de certaines séries de puissances II

Publié le 2 décembre 2017 par Pierre Lecomte

Nous avons vu dans l’article Une remarque à propos de certaines séries de puissances I que, pour chaque $r\in\mathbf N$ , il existe un seul polynôme $\xi_r\in\mathbf K[t]$ nul en zéro, de degré $r+1$ et tel que(*)

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k^rx^k=\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right)$

La suite $r\mapsto \xi_r$ est déterminée univoquement par la relation de récurrence

(1) $\forall r\in\mathbf N,\quad \xi_{r+1}=t(t-1)\xi'_r,$

assortie de la condition initiale $\xi_0=t$ .

Voici l’allure des graphes de $\xi_i, i\in\{1,2,3,4,5,6\}$ . Ceux de $\xi_1,\xi_3,\xi_5$ sont représentés dans des tons « rouges » dont l’intensité augmente avec l’indice ( $\xi_1$ est en rose pale et $\xi_5$ presque en brun). Les graphes de $\xi_2,\xi_4,\xi_6$ sont dans les tons « bleus », avec la même convention sur l’intensité.

Nous allons faire quelques observations à propos des zéros des polynômes $\xi_r$ . Comme on le verra, elles sont très bien illustrées par l’image ci-dessus.

$\boxed{A}$

— Les zéros du polynôme $\xi_r$ sont tous réels et simples; ils appartiennent à $[0,1]$ .

— Le seul zéro de $\xi_0$ est $0$ et, pour $r>0$ , $0$ est le plus petit zéro de $\xi_r$ et $1$ le plus grand.

— Si $\alpha_{r,0}=0<\alpha_{r,1}<\cdots<\alpha_{r,r}=1$ sont les zéros de $\xi_r$ , alors $\forall i\in\{1,\ldots,r\},\quad \alpha_{r,i-1}<\alpha_{r+1,i}<\alpha_{r,i}$ .

Nous allons établir ces propriétés par récurrence sur $r\geqslant 1$ (je mets de côté $\xi_0$ . Les affirmations qui le concernent sont triviales).

Pour rappel, $\xi_1=t(t-1)$ et le cas de base est donc réglé.
Supposons alors que les zéros de $\xi_r$ soient comme dans l'énoncé. Alors, d'après le théorème de Rolle, $\xi'_r$ s'annule dans chaque intervalle $]\alpha_{r,i},\alpha_{r,i+1}[, i\in\{0,\ldots, r-1\}$ . Dès lors, vu (1), $\xi_{r+1}$ s'annule une fois dans chacun de ces intervalles. Comme il s'annule aussi en $0$ et $1$ , il possède $r+2$ zéros lesquels sont séparés par les $\alpha_{r,i}, 0<i<r$ .

La propriété est donc établie.

$\boxed{B}$

— Pour $r>0$ , les polynômes $\xi_{2r}$ sont tous annulés par $\frac 12$ et le point $(\frac 12,0)$ est un centre de symétrie de leurs graphes.

— La droite d’équation $x=\frac 12$ est un axe de symétrie des graphes des polynômes $\xi_{2r+1}$ .

Ces propriétés résultent immédiatement du fait que la parité des polynômes $\eta_r\in\mathbf K[s]$ définis par $\eta_r(s)=\xi_r(s+\frac 12)$ est l’opposée de celle de $r$ . Pour vérifier ceci, observons que, vu (1), les polynômes $\eta_r$ vérifient la relation

$\forall r\in\mathbf N,\quad \eta_{r+1}=\left(s^2-\frac 14\right)\eta'_r$

Si on se souvient de ce qu’un polynôme $f$ nul en $0$ est pair ou impair selon que sa dérivée est respectivement impaire ou paire, alors la propriété immédiatement résulte d’une simple récurrence sur $r$ .

Voilà, c’est tout pour ce billet.

😉

P.S. Les polynômes $\xi_r$ sont calculés ici. P.L. 3/12/2017
__________
(*) Nous prenons $\mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\}$ . Les séries de puissances que nous considérons ont toujours un rayon de convergence strictement positif.

Une remarque à propos de certaines séries de puissances I

Publié le 1 décembre 2017 par Pierre Lecomte

On rencontre assez régulièrement le problème de calculer des séries de la forme

$\displaystyle \mathscr S_P(x)=\sum_{k=0}^\infty P(k)x^k$

où $P\in\mathbf K[t]$ est un polynôme à coefficients dans $\mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\}$ .

Cette famille de séries inclut la célèbre série géométrique $\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac 1{1-x}$ et nous allons montrer que

(1) Pour tout polynôme $P$ de degré $n\in\mathbf N$ , il existe un seul polynôme $Q$ de degré $n+1$ s’annulant en $0$ et tel que $\displaystyle \mathscr S_P(x)=Q\left(\frac 1{1-x}\right).$

L’unicité de $Q$ est évidente et nous n’y reviendrons pas. Pour le reste, la propriété (1) va résulter de quelques faits simples que nous allons passer en revue.

Une formule pour les puissances de la série géométrique

Il s’agit de la formule

$\displaystyle \forall n\in\mathbf N,\quad\sum_{k=0}^\infty{n+k\choose n}x^k=\frac{1}{(1-x)^{n+1}}$

Elle résulte immédiatement des deux suivantes

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\frac 1{1-x}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\quad \& \quad\frac{d^n}{dx^n}\frac 1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(n+k)!}{k!}x^k$

qui sont très faciles à démontrer par récurrence sur $n$ (je ne vais pas détailler ces vérifications).

Une base de l’espace des polynômes

Les polynômes $e_n\in\mathbf K[t], n\in \mathbf N,$ définis par $e_0(t)=1$ et, pour $n>0$ , par $e_n=\frac 1{n!}(t+n)(t+n-1)\cdots(t+1)$ forment une base de $\mathbf K[t]$ .

En effet, $e_n(t)-\frac{t^n}{n!}$ est une somme de termes de degrés strictement plus petits que $n$ . Ainsi, la matrice qui exprime les polynômes $e_n$ dans la base canonique $1, t, t^2, \ldots, t^n,\ldots$ est triangulaire inférieure et sa diagonale est $\mathrm{diag}(\frac 1{0!},\frac 1{1!}, \ldots, \frac 1{n!}, \ldots)$ . Elle est donc inversible.

Preuve de la propriété (1)

Soient un polynôme $P\in\mathbf K[t]$ de degré $n$ et $\sum_{i=0}^np_ie_i$ sa décomposition selon la base $(e_0,e_1,\ldots, e_n,\ldots)$ . On a

$\displaystyle \mathscr S_P(x)=\sum_{i=0}^np_i\sum_{k=0}^\infty e_i(k)x^k=\sum_{i=0}^np_i\sum_{k=0}^\infty{i+k\choose i}x^k=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{p_{i-1}}{(1-x)^i}$

car pour tous $n,k\in \mathbf N$ , $e_n(k)={n+k\choose n}$ . D’où la propriété.

Les séries $\mathscr S_r$

Lorsque $P(t)=t^r$ , je note $\mathscr S_r$ la série $\mathscr S_P$ . Je note aussi $\xi_r$ l’unique polynôme prévu par la propriété (1), c’est-à-dire le polynôme de degré $r+1$ qui s’annule en $0$ et qui est tel que

(2) $\displaystyle \mathscr S_r(x)=\sum_{k=0}^\infty k^rx^k=\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right)$

Les polynômes $\xi_r$ vérifient une relation de récurrence qui permet de calculer les premiers facilement « à la main » et, de toute façon, d’en programmer le calcul à l’aide d’un logiciel de calcul formel(*).

Les polynômes $\xi_r$ sont univoquement déterminés par les conditions $\xi_0(t)=t$ et

(3) $\forall r\in\mathbf N,\quad \xi_{r+1}(t)=t(t-1)\xi'_r(t)$

Pour obtenir cette relation, dérivons les membres extrêmes de (2) par rapport à $x$ . On a

$\displaystyle \mathscr S'_r(x)=\sum_{k=1}^\infty k^{r+1}x^{k-1}=\frac 1x\sum_{k=1}^\infty k^{r+1}x^k=\frac 1x\mathscr S_{r+1}(x)$

$\displaystyle \left[\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right)\right]'=\frac 1{(1-x)^2}\xi'_r\left(\frac 1{1-x}\right)$

de sorte que

$\displaystyle \frac 1x\xi_{r+1}\left(\frac 1{1-x}\right)=\frac 1{(1-x)^2}\xi'_r\left(\frac 1{1-x}\right)$

On obtient alors (3) en effectuant le changement de variable $t=\frac 1{1-x}$ dans cette dernière relation.

La relation (3) ( et la condition initiale) nous donne aisément le tableau des premiers $\xi_r$ :

$\displaystyle \begin{array}{c|l}\xi_0&t\\\hline\xi_1&t^2-t\\\hline\xi_2&2t^3-3t^2+t\\\hline\xi_3&6t^4-12t^3+7t^2-t\end{array}$

D’où les premières séries $\mathscr S_r$ :

$\displaystyle \begin{array}{lcl}\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty x^k}&=&\displaystyle{\frac 1{1-x}}\\[2ex]\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty kx^k}&=&\displaystyle{-\frac 1{1-x}+\frac 1{(1-x)^2}}\\[2ex]\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty k^2x^k}&=&\displaystyle{\frac 1{1-x}-\frac 3{(1-x)^2}+\frac 2{(1-x)^3}}\\[2ex]\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty k^3x^k}&=&\displaystyle{-\frac 1{1-x}+\frac 7{(1-x)^2}-\frac {12}{(1-x)^3}+\frac 6{(1-x)^4}}\end{array}$

Quelques coefficients des polynômes $\xi_r$

Voici quelques coefficients des polynômes $\xi_r$ . Pour l’instant, je ne les connais pas tous(**).

Ecrivons $\xi_r(t)=\sum_{i=1}^{r+1}a_{r,i}t^i$ . Alors

(4) $\displaystyle a_{r,1}=(-1)^r,\quad a_{r,2}=(-1)^{r+1}2^r+(-1)^r, \quad a_{r,r}=-\frac 12(r+1)!, \quad a_{r,r+1}=r!$

La dérivée $n$ -ième des deux membres de (3) en $t=0$ nous donne la relation

(5) $\xi_{r+1}^{(n)}(0)=-n\xi_r^{(n)}(0)+n(n-1)\xi_r^{(n-1)}(0)$

D’un autre côté, $\xi_r^{(n)}(0)$ vaut $n!a_{r,n}$ si $1\leqslant n\leqslant r+1$ et est nul pour les autres valeurs de $n\in \mathbf N$ .

En faisant $n=1$ et $n=r+2$ dans (5), on obtient facilement les valeurs de $a_{r,1}$ et $a_{r,r+1}$ . Ensuite, avec $n=r+1$ , on voit que $r\mapsto a_{r,r}$ est solution de l’équation de récurrence $x_{r+1}=rx_r-(r+1)!,x_1=-1,$ dont $-\frac 12(r+1)!$ est visiblement la solution. Enfin, avec $n=2$ , on voit que $a_{r,2}$ est solution de l’équation $x_{r+1}=-2x_r+(-1)^r, x_1=1,$ dont $(-1)^{r+1}2^r+(-1)^r$ est la solution, comme on le voit aisément.

P.S. Je pense avoir trouvé une expression explicite des $\xi_r$ et donc des séries $\mathscr S_r$ . Cela sera exposé dans un billet à venir. P.L. 2/12/2017

P.S. Voilà, on trouvera ces expressions ici. P.L. 3/12/2017

__________
(*) Pour alléger l’écriture, je noterai désormais $f', f'', f''', \ldots, f^{(n)},\ldots$ les dérivées successives d’une fonction, d’un polynôme ou d’une série (dérivée terme à terme) $f$ .
(**) Je présente dans ce billet, quelques belles propriétés de ces polynômes.

Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes II

Publié le 30 novembre 2017 par Pierre Lecomte

Voici la suite de ce billet. Nous conservons ses notations.

Nous commencerons par vérifier que les suites $u^{(i,r)}:k\mapsto k^r\alpha_i^k,\quad i\in\{1,\ldots,p\}, \quad 0\leqslant r<m_i,$ sont des solutions de l'équation

$\forall k\in \mathbf N,\quad a_0x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1}x_{k+1}+a_nx_k=0$

Les nombres $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ sont les zéros distincts de son polynôme caractéristique

$\chi(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n$

et $m_1,\ldots,m_p$ sont leurs multiplicités respectives. Pour rappel, on suppose que $a_0,a_n\neq 0$ .

Nous allons utiliser l’application linéaire $T:\mathbf C^\mathbf N\to \mathbf C^\mathbf N$ consistant à décaler les suites « d’un cran vers la gauche » : $T(\mathbf x)_k=\mathbf x_{k+1}$ . Avec celle-ci, l’équation se réécrit ( $I$ désigne l’application identité)

$(\underbrace{a_0T^n+a_1T^{n-1}+\cdots+a_{n-1}T+a_nI}_{=\chi(T)})(\mathbf x)=0$

Autrement dit, l’espace des solutions de l’équation est le noyau de $\chi(T)$ : $\mathcal S=\ker \chi(T)$ .

On a

$\chi(T)=a_0(T-\alpha_1I)^{m_1}\cdots(T-\alpha_pI)^{m_p}$

Il suffit donc de montrer que

$\forall i\in\{1,\ldots,p\}, \forall r\in\{0,\ldots,m_i-1\}, \quad u^{(i,r)}\in\ker(T-\alpha_iI)^{r+1}$

pour montrer que les suites $u^{(i,r)}$ sont des solutions.

Pour une valeur donnée de $i$ , on procède par récurrence sur $r$ .

Il est trivial que $(T-\alpha_iI)u^{(i,0)}=0$ .

Supposons alors que $(T-\alpha_iI)^1u^{(i,0)}=\cdots=(T-\alpha_iI)^ru^{(i,r-1)}=0$ et montrons que $(T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)}$ est nul également.

On a

$\left((T-\alpha_iI)u^{(i,r)}\right)_k=u^{(i,r)}_{k+1}-\alpha_iu^{(i,r)}_k=[(k+1)^r-k^r]\alpha_i^{k+1}$

Par conséquent, $(T-\alpha_iI)u^{(i,r)}$ est une combinaison linéaire des suites $u^{(i,0)},\ldots,u^{(i,r-1)}$ . Vu l’hypothèse de récurrence, on a donc $(T-\alpha_iI)^{r+1}u^{(i,r)} =0$ .

Les suites $u^{(i,r)}$ sont donc bien des solutions de l’équation.

Pour terminer, nous allons montrer que les suites $u^{(i,r)}$ sont linéairement indépendantes. Cela achèvera la démonstration du théorème de structure présenté dans le billet cité plus haut.

Allons-y! Les polynômes

$\displaystyle \chi_j=\prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^p(t-\alpha_i)^{m_i}, j\in\{1,\ldots,p\}$

sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe des polynômes $\varrho_j$ tels que $\varrho_1\chi_1+\cdots+\varrho_p\chi_p=1$ et donc tels que

(1) $\varrho_1(T)\chi_1(T)+\cdots+\varrho_p(T)\chi_p(T)=I$

Notons que, si $i\neq j$ , alors $\chi_j(T)u^{(i,r)}=0$ . En effet, si $i\neq j$ , alors $(T-\alpha_iI)^{m_i}$ est un facteur de $\chi_j(T)$ et on a vu plus haut que ce facteur annule $u^{(i,r)}$ . En appliquant les deux membres de la relation (1) à $u^{(i,r)}$ , nous obtenons dès lors

(2) $\varrho_i(T)\chi_i(T)u^{(i,r)}=u^{(i,r)}$

Nous sommes prêts pour établir l’indépendance linéaire des $u^{(i,r)}$ .

Supposons que

$\displaystyle \sum_{j=1}^p\sum_{r=0}^{m_j-1}c_{j,r}u^{(j,r)}=0$

et choisissons un indice quelconque $i$ compris entre $1$ et $p$ . Appliquons $\varrho_i(T)\chi_i(T)$ aux deux membres de cette relation. Cela nous donne, vu (2), $\sum_{r=0}^{m_i-1}c_{i,r}u^{(i,r)}=0$ soit

$\forall k\in\mathbf N, \quad \left(c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}\right)\alpha_i^k=0$

Mais $\alpha_i\neq 0$ car $a_n=\chi(0)\neq 0$ . Par conséquent

$\forall k\in\mathbf N, \quad c_{i,0}+c_{i,1}k+\cdots+c_{i,m_i-1}k^{m_i-1}=0$

ce qui montre que $c_{i,0}=c_{i,1}=\cdots=c_{i,m_i-1}=0$ .

D’où la conclusion puisque $i\in\{1,\ldots,p\}$ est quelconque.

😉

Sur les équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes I

Publié le 30 novembre 2017 par Pierre Lecomte

Je vais présenter dans ce blog une démonstration du théorème de structure de l’ensemble des solutions des équations de récurrence linéaires à coefficients constants et homogènes. J’y consacrerai deux billets.

Il y a des livres entiers consacrés à ces équations. Néanmoins, je trouve utile (pour moi) de consigner ici ce résultats bien connu ainsi qu’une démonstration de celui-ci.

Par ailleurs, je vais me limiter aux équations à coefficients complexes. A mon avis la méthode de démonstration utilisée s’adapte à des cas bien plus généraux (on pourrait certainement l’adapter sans problèmes à un corps de caractéristique nulle algébriquement clos) mais je ne vais pas discuter de la chose, cela d’autant plus que je ne connais sans doute pas assez d’algèbre pour pouvoir le faire de façon optimale.

Nous considérons une équation de récurrence linéaire à coefficients constants

(1) $\forall k\in \mathbf N,\quad a_0x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1}x_{k+1}+a_nx_k=0$

avec $a_0\neq 0$ et $a_n\neq 0$ .

Par linéarité de l’équation, toute combinaison linéaire de solutions est encore une solution : l’ensemble $\mathscr S$ des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de l’espace $\mathbf C^\mathbf N$ .

De plus, l’équation montre que chaque terme de rang au moins $n$ d’une solution est univoquement déterminé par les $n$ précédents (car $a_0\neq 0$ ). Seuls les $n$ premiers ne sont pas déterminés par l’équation mais si on se donne des valeurs $u=(u_0,\ldots,u_{n-1})\in\mathbf C^n$ on peut construire de proche en proche une unique solution $s(u)$ de l’équation dont ce sont les $n$ premiers termes. L’application $s:\mathbf C^n\to\mathscr S$ est manifestement une bijection linéaire. Ainsi,

a) L’ensemble $\mathscr S$ des solutions de l’équation (1) est un sous-espace vectoriel de dimension $n$ de $\mathbf C^\mathbf N$

Le théorème de structure des solutions de l’équation auquel je pense consiste à fournir une base privilégiée de $\mathcal S$ . Il utilise le polynôme caractéristique

$\chi(t)=a_0t^n+a_1t^{n-1}+\cdots +a_{n-1}t+a_n$

de l’équation. On obtient formellement ce polynôme en remplaçant dans le membre de gauche de l’équation $x_j$ par $t^{j-k}$ .

Nous noterons $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ les zéros distincts de $\chi$ et $m_1,\ldots,m_p$ leurs multiplicités respectives (on a donc $m_1+\cdots+m_p=n$ ). Voici alors le théorème

b) Les $n$ suites $u^{(i,r)}:k\mapsto k^r\alpha_i^k,\quad i\in\{1,\ldots,p\}, \quad 0\leqslant r<m_i,$ forment une bases de $\mathscr S$ .

Pour prouver b), nous allons montrer que les suites en question sont des solutions de l’équation et qu’elles sont linéairement indépendantes. Cela suffit car le fait qu’elles forment une base de $\mathscr S$ résulte alors de ce qu’elles sont en nombre égal à sa dimension.

C’est dans ce billet que nous allons faire les vérifications en question.

En guise d’exercice : trouver la bonne combinaison …

Publié le 29 novembre 2017 par Pierre Lecomte

J’ai obtenu par hasard la formule suivante que je vous propose de démontrer pour vous divertir. Elle est tombée comme un fruit mûr lorsque je faisais certains calculs qui ne la concernaient pas. Elle est peut-être facile à prouver directement. Je n’en sais rien, je n’ai pas vraiment essayé de le faire. La voici

$\sum_{l=0}^k{n+l \choose n}={n+1+k \choose n+1}$

Les nombres $k$ et $n$ sont des entiers positifs ou nuls.

Bon amusement! 😉

Courbure et droite projective réelle II

Publié le 25 novembre 2017 par Pierre Lecomte

Ce préambule est un des plus compliqués que j’aie eu à rédiger jusqu’à présent ici. En effet, cet article fait référence à divers autres, ainsi qu’à quelques notions rarement évoquées dans ce blog. Je vous demande donc de faire preuve de la plus grande indulgence en lisant ce qui suit …

Le présent billet fait, naturellement, référence à celui-ci — chronologiquement, celui qui le précéde dans ce blog. Il fait aussi référence, de façon importante, à cet autre et, vers la fin, à ceux-ci : a et b.

Idéalement, pour les notations mais aussi pour certains concepts, il serait judicieux que vous jetiez un coup d’œil attentif à chacun de ces articles car je ne vais guère pouvoir rappeler ici les notations ni les définitions ni les résultats que je vais utiliser.

Le but que je poursuis ici est d’interpréter dans le cadre de la géométrie de la droite projective réelle certaines propriétés des courbes régulières d’un espace affine euclidien orienté de dimension deux et, plus particulièrement, la courbure de celles-ci.

Ayant choisi un repère orthonormé positif du plan où se déploient ces courbes, nous sommes ramenés à $\mathbf R^2$ muni de la structure standard d’espace euclidien orienté. C’est dans cet espace que nous évoluerons ci-dessous.

La cohomologie de de Rham de la droite projective réelle

Considérons la $1$ -forme $\omega$ de $P^1\mathbf R$ définie par

$\forall d\in P^1\mathbf R,\quad \omega_d(\Theta_d)=1$

(Pour rappel, $\Theta_d$ n’étant pas nul, c’est une base de l’espace tangent en $d$ à $P^1\mathbf R$ .) C’est une forme volume de $P^1\mathbf R$ car elle est sans zéros. Ainsi que je l’ai signalé dans un des articles mentionnés plus haut, les expressions locales de $\Theta$ dans les cartes canoniques $(U_i,\varphi_i)$ sont

$\varphi_{1*}\Theta=(1+x^2)\dfrac{d}{dx}\quad \& \quad \varphi_{2*}\Theta=-(1+y^2)\dfrac{d}{dy}$

Par conséquent, celles de $\omega$ sont

$(\varphi_1^{-1})_*\omega=\dfrac{dx}{1+x^2}\quad \& \quad (\varphi_2^{-1})_*\omega=-\dfrac{dy}{1+y^2}$

Vu que $P^1\mathbf R\setminus U_1$ est réduit à un point, nous en déduisons que

$\displaystyle\int_{P^1\mathbf R}\omega=\displaystyle\int_\mathbf R(\varphi_1^{-1})_*\omega=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$

La forme $\omega$ n’est donc pas exacte(*) et sa classe de cohomologie est une base du premier espace de cohomologie de de Rham de $P^1\mathbf R$ (**).

Cela noté, dans le premier billet mentionné au début de ce texte, nous avions associé à chaque courbe régulière $(I,\gamma)$ de $\mathbf R^2$ une courbe $(I,\varsigma)$ de $P^1\mathbf R$ en posant

$\forall t\in I,\quad \varsigma(t)=\mathbf R\gamma'(t)$

et nous avions établi cette formule : $\varsigma'=\kappa^*\|\gamma'\|\Theta\circ\varsigma$ , où $\kappa^*$ est la courbure algébrique de la courbe $(I,\gamma)$ . Elle équivaut à celle-ci que je trouve particulièrement jolie :

(1) $\boxed{\displaystyle\omega(\varsigma')=\kappa^*\|\gamma'\|}$

« La fonction angle n’existe pas sur la droite projective réelle »

$\boxed{\mathrm A}$ Considérons une droite $d\in U_1$ et un de ses vecteurs directeurs $(u_1,u_2)$ . Le nombre $\varphi_1(d)=u_2/u_1$ est ce qu’on appelle souvent le coefficient angulaire de $d$ et, si $\alpha$ est une détermination(***) de l’angle orienté entre « l’axe des $x$ » et $d$ , alors $\varphi_1(d)=\tan\alpha$ . Nous choisirons la détermination appartenant à $]-\pi/2,\pi/2[$ et nous la noterons $\alpha_1(d)$ . Cela nous donne une fonction $\alpha_1=\mathrm{arctg} \circ\varphi_1\in C^\infty(U_1,\mathbf R)$ . Avec une interprétation similaire, la seconde carte canonique de $P^1\mathbf R$ nous donne une fonction $\alpha_2=\mathrm{arccot} \circ\varphi_2-\pi/2\in C^\infty(U_2,\mathbf R)$ . Elle prend également ses valeurs dans $]-\pi/2,\pi/2[$ .

Les fonctions $\alpha_i$ sont des primitives de $\omega$ . Plus précisément,

$\displaystyle\omega_{|U_1}=d\alpha_1 \quad \& \quad \omega_{|U_2}=d\alpha_2$

Cela résulte immédiatement des expressions locales de $\omega$ dans les cartes canoniques que nous avons explicitées plus haut.

$\boxed{\mathrm B}$ Soit une courbe régulière $(I,\gamma)$ de $\mathrm R^2$ rapportée à une abscisse curviligne. Si $t\in I$ et si $\varsigma(t)\in U_i$ , alors

$\kappa^*(t)=\omega(\varsigma'(t))=(d\alpha_i)(\varsigma'(t))=(\alpha_i\circ\varsigma)'(t)$

Cela dit,

Il n’existe pas de fonction $\alpha\in C^\infty(P^1\mathbf R,\mathbf R)$ telle que, pour toute courbe régulière $(I,\gamma)$ de $\mathrm R^2$ rapportée à une abscisse curviligne on ait $\kappa^*=(\alpha\circ\varsigma)'$ .

Supposons au contraire qu’une telle fonction $\alpha$ existe et prenons pour $(I,\gamma)$ le cercle trigonométrique, i.e. la courbe $t\mapsto (\cos t,\sin t)$ . La courbure algébrique de celle-ci est constante et vaut $1$ . On a alors

$d\alpha(\varsigma')=(\alpha\circ \varsigma)'=1=\omega(\varsigma')$

Comme $\varsigma'$ n’a donc aucun zéros et comme $\varsigma(\mathbf R)=P^1\mathbf R$ , nous déduisons de cela que $\omega=d\alpha$ , une contradiction.

La propriété que nous venons de démontrer contraste avec la propriété classique de la courbure selon laquelle, pour toute courbe $(I,\gamma)$ rapportée à une abscisse curviligne et tout $\mathbf u\in \mathbf R^2\setminus\{0\}$ , $\kappa^*$ admet une primitive $\alpha\in C^\infty(I,\mathbf R)$ telle que, pour tout $t\in I$ , $\alpha(t)$ soit une détermination de l’angle orienté entre $\mathbf u$ et la tangente unitaire $\mathbf t(t)$ de $\gamma$ en $t$ .

Retour sur la frontière des épaissis d’un convexe

Ici, je vous réfère aux billets notés a et b dans le préambule.

J’y avais démontré que, pour $u>0$ , la courbure $\kappa_u$ de la frontière du $u$ -épaissi $e_u$ d’un convexe $e$ s’exprime au moyen de la courbure $\kappa$ de la frontière de $e$ par la formule

$\kappa_u=\dfrac{\kappa}{1+u\kappa}$

Voici une preuve de cette formule résultant de (1).

Pour rappel, la frontière du $u$ -épaissi d’un convexe $e$ dont la frontière est une courbe régulière $(I,\gamma)$ dont la normale principale $\mathbf n$ pointe vers l’extérieur de $e$ est la courbe $(I,\gamma_u)$ donnée par $\gamma_u(t)=\gamma(t)+u\mathbf n$ . Pour simplifier les notations, j’indicerai par $u$ les grandeurs relatives à $\gamma_u(t)$ . On a

$\gamma'_u=\gamma'-u\kappa^*\|\gamma'\|\mathbf t=(1-u\kappa^*)\gamma'$

La formule annoncée résulte alors du fait que $\kappa^*\leqslant 0$ , ce qui implique que $1-u\kappa^*>0$ et $\kappa=-\kappa^*, \kappa_u=-\kappa_u^*$ .

Courbure et rayon de courbure : deux avatars d’un même objet

Cette dernière section est une ébauche. Je n’ai pas encore toutes les clés du phénomène que je vais y décrire.

$\boxed{A}$ Le rayon de courbure $\varrho$ et la de courbure $\kappa$ d’une courbe $(I,\gamma)$ sont liés par la relation $\varrho\kappa=1$ . Ce sont donc les coordonnées dans les deux cartes canoniques d’un élément de $P^1\mathbf R$ , à savoir

$\mathfrak k=\varphi_1^{-1}(\kappa)=\varphi_2^{-1}(\rho)$

D’une certaine façon, $\mathfrak k$ rend mieux compte de ce qu’il se passe que $\kappa$ et $\varrho$ car lorsque l’un d’eux est nul l’autre n’existe pas ou « est infini », ce que le passage au projectif prend bien en charge.

Introduisons une fonction $\varpi:TP^1\mathbf R\to P^1\mathbf R$ en posant $\varpi=\varphi_1^{-1}\circ\omega$ . Il vient alors, pour toute courbe $(I,\gamma)$ rapportée à une abscisse curviligne,

$\displaystyle\boxed{\varpi(\varsigma')=\mathfrak k}$

$\boxed{B}$ Dans les conditions de la section précédente la fonction $u\in]0,+\infty[\mapsto \frac{\kappa}{1+u\kappa}\in\mathbf R$ est une solution de l’équation différentielle $x'+x^2=0$ . Or il se fait que l’expression locale dans la carte $(U_1,\varphi_1)$ du champ de vecteurs

$\Xi=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}^*$

de $P^1\mathbf R$ (voir la seconde référence citée dans le préambule pour la définition des champs de vecteurs de la forme $H^*$ ) est $\varphi_{1*}\Xi=-x^2\frac d{dx}$ . Cela nous montre que la courbe $u\in]0,+\infty[\mapsto \mathfrak k_u\in P^1\mathbf R$ est une courbe intégrale de $\Xi$ .

Ce fait étrange est lié à une propriété des épaissis des convexes, établie dans l’article désigné par a ci-dessus : pour tous $u,v>0$ , on a $(e_u)_v=e_{u+v}$ .

__________
(*) Notez que, à cause de la dimension de $P^1\mathbf R$ , ses $1$ -formes sont fermées.
(**) La droite projective $P^1\mathbf R$ étant de dimension $1$ , sa cohomologie de de Rham (à coefficients réels) se réduit à deux termes :

$H^*(P^1\mathbf R,\mathbf R)=H^0(P^1\mathbf R,\mathbf R)\oplus H^1(P^1\mathbf R,\mathbf R)$

Il se fait que $H^1(P^1\mathbf R,\mathbf R)$ est de dimension $1$ (l’autre terme aussi, mais c’est trivial — peu importe).
(***) L’angle orienté entre deux droites est la classe modulo $\pi$ de l’angle orienté entre un vecteur directeur de la première et un vecteur directeur de la seconde.

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