Pour la rentrée, un petit exercice sur les coefficients binomiaux

Voici une jolie identité. Elle est peut être immédiate, je n’y ai pas trop réfléchi. En tout cas, elle ne devrait pas vous résister très longtemps. Elle vaut pour tout entier positif n et tout entier k\in\{1,\ldots,n\} :

\sum_{p=0}^k(-1)^p{n\choose p}{n-p\choose k-p}=0

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5 réactions sur “Pour la rentrée, un petit exercice sur les coefficients binomiaux

  1. Elle est effectivement fort simple à prouver … 😉

    Je l’ai d’abord obtenue par un moyen détourné quoique rapide. Mais il s’avère a posteriori qu’elle est facile à établir directement.

  2. C’est en effet le plus simple. Ma première méthode, en fait : le calcul m’ayant conduit à l’identité, consiste à appliquer la formule du binôme à 1=(a+(1-a))^n puis, dans chaque terme, aux puissances de 1-a, et à identifier le coefficient de a^k.

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